Question

如圖，把正方形ABCD沿著直線EF對(duì)折，使頂點(diǎn)C落在邊AB的中點(diǎn)M，已知正方形的邊長(zhǎng)為4，那么折痕EF的長(zhǎng)為_(kāi)_______．

Answer 1

2
分析：過(guò)E點(diǎn)作EH⊥BC于H點(diǎn)，MD′交AD于G點(diǎn)，根據(jù)折疊的性質(zhì)得FC=FM，ED=ED′，∠D′MF=∠C=90°，∠D′=∠D=90°，且BM=AB=×4=2，設(shè)MF=x，則BF=4-x，在Rt△BFM中，根據(jù)勾股定理有即x²=（4-x）²+2²，求得x=，則MF=FC=，BF=4-=；易證Rt△AGM∽R(shí)t△BMF，則==，即==，可求得AG=，MG=，再設(shè)DE=t，則D′E=t，GE=4-t-=-t，易證得Rt△D′GE∽R(shí)t△AGM，則=，即=，解得t=，于是HC=ED=，F(xiàn)H=4--=2，然后在Rt△EFH中利用勾股定理即可求出EF的長(zhǎng)．
解答：過(guò)E點(diǎn)作EH⊥BC于H點(diǎn)，MD′交AD于G點(diǎn)，如圖，
∵把正方形ABCD沿著直線EF對(duì)折，使頂點(diǎn)C落在邊AB的中點(diǎn)M，
∴FC=FM，BM=AB=×4=2，ED=ED′，∠D′MF=∠C=90°，∠D′=∠D=90°，
設(shè)MF=x，則BF=4-x，
在Rt△BFM中，MF²=BF²+BM²，即x²=（4-x）²+2²，
∴x=，
∴MF=FC=，BF=4-=，
∵∠1+∠3=90°，∠1+∠2=90°，
∴∠2=∠3，
∴Rt△AGM∽R(shí)t△BMF，
∴==，即==，
∴AG=，MG=，
設(shè)DE=t，則D′E=t，GE=4-t-=-t，
易證得Rt△D′GE∽R(shí)t△AGM，
∴=，即=，解得t=，
∴HC=ED=，
∴FH=4--=2，
在Rt△EFH中，EH=DC=4，F(xiàn)H=2，
∴EF===2．
故答案為2．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了折疊問(wèn)題：折疊前后兩圖形全等，即對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等．也考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定以及勾股定理．