Question

如圖所示，正方形ABCD的邊長為1，點P為邊BC上的任意一點（可與B、C 重合），分別過B、C、D 作射線AP的垂線，垂足分別為B′、C′、D′，則BB′+CC′+DD′的取值范圍是

2

≤BB′+CC′+DD′≤2

．

Answer 1

分析：首先連接AC，DP．由正方形ABCD的邊長為1，即可得：S_△ADP=

1

2

S_{正方形ABCD}=

1

2

，S_△ABP+S_△ACP=S_△ABC=

1

2

S_{正方形ABCD}=

1

2

，繼而可得

1

2

AP•（BB′+CC′+DD′）=1，又由1≤AP≤

2

，即可求得答案．

解答：解：連接AC，DP．
∵四邊形ABCD是正方形，正方形ABCD的邊長為1，
∴AB=CD，S_{正方形ABCD}=1，
∵S_△ADP=

1

2

S_{正方形ABCD}=

1

2

，S_△ABP+S_△ACP=S_△ABC=

1

2

S_{正方形ABCD}=

1

2

，
∴S_△ADP+S_△ABP+S_△ACP=1，
∴

1

2

AP•BB′+

1

2

AP•CC′+

1

2

AP•DD′=

1

2

AP•（BB′+CC′+DD′）=1，
則BB′+CC′+DD′=

2

AP

，
∵1≤AP≤

2

，
∴當(dāng)P與B重合時，有最大值2；
當(dāng)P與C重合時，有最小值

2

．
∴

2

≤BB′+CC′+DD′≤2．
故答案為：

2

≤BB′+CC′+DD′≤2．

點評：此題考查了正方形的性質(zhì)、面積及等積變換問題．此題難度較大，解題的關(guān)鍵是連接AC，DP，根據(jù)題意得到S_△ADP+S_△ABP+S_△ACP=1，繼而得到BB′+CC′+DD′=

2

AP

．