Question

平面直角坐標(biāo)系中，□ABOC如圖放置，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（0，3）、（-1，0），將此平行四邊形繞點(diǎn)O[順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到□．

（1）若拋物線過(guò)點(diǎn),求此拋物線的解析式；

（2）求□ABOC和□重疊部分的周長(zhǎng)；

（3）點(diǎn)M是第一象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)：點(diǎn)M在何處時(shí)△的面積最大？最大面積是多少？

并求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．

 

Answer 1

解: （1）∵由旋轉(zhuǎn)得到，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.  ……………………………1分

所以拋物線過(guò)點(diǎn).設(shè)拋物線的解析式為，可得  解得  ……4分

∴ 過(guò)點(diǎn)的拋物線的解析式為.

（2）因?yàn)?sub>，所以.

所以.

又,

,   ∴△∽△.

又.………………7分

∴.

又△的周長(zhǎng)為，

所以△的周長(zhǎng)為.……9分

(3)設(shè)直線的解析式為，

∵點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，

∴ 解得 ∴.…10分

將直線向右平移，當(dāng)直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)M時(shí)與y軸交于點(diǎn)P，此時(shí)最大，設(shè)平移后的直線的解析式為：，

則有： 得，

令，得.

∴.解得

∴點(diǎn)坐標(biāo)為,點(diǎn)P的坐標(biāo)為.…12分

因?yàn)?i>MP∥,所以△與△同底等高，它們面積相等.故.所以當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為時(shí)，△的面積有最大值，且最大值為 ……14分