【題目】.如圖1,在矩形ABCD中,BC>AB,∠BAD的平分線AF與BD、BC分別交于點E、F,點O是BD的中點,直線OK∥AF,交AD于點K,交BC于點G.

(1)求證:①△DOK≌△BOG;②AB+AK=BG;

(2)若KD=KG,BC=4﹣

①求KD的長度;

②如圖2,點P是線段KD上的動點(不與點D、K重合),PM∥DG交KG于點M,PN∥KG交DG于點N,設(shè)PD=m,當S△PMN=時,求m的值.

【答案】(1)證明見解析;(2)2,1.

【解析】

試題分析:(1)根據(jù)AAS可判定DOK≌△BOG,易證四邊形AFGK為平行四邊形,從而得到AK=FG,而AB=BF,所以AB+AK=BG;(2)由(1)可知AB=BF,AF=KG=DK=BG=AB,AK=FG=AB-AB,再利用AK+DK=AD=BC可求得AB的長,DK長度可求出,過點G作GIKD,求得SDKG的值,再根據(jù)四邊形PMGN是平行四邊形,以及DKG∽△PKM∽△DPN,求得SDPN和SPKM的表達式,最后根據(jù)等量關(guān)系S平行四邊形PMGN=SDKGSDPNSPKM,列出關(guān)于m的方程,求得m的值即可.

試題解析:(1)①∵在矩形ABCD中,ADBC,∴∠KDO=GBO,DKO=BGO.點O是BD的中點,DO=BO

∴△DOK≌△BOG(AAS).②∵四邊形ABCD是矩形,∴∠BAD=ABC=90°,ADBC

AF平分BAD,∴∠BAF=BFA=45°,AB=BF.OKAF,AKFG,四邊形AFGK是平行四邊形.AK=FG.

BG=BF+FG,BG=AB+AK;(2)由(1)得,四邊形AFGK是平行四邊形.AK=FG,AF=KG,又∵△DOK≌△BOG,且KD=KG.AF=KG=KD=BG.設(shè)AB=a,則AF=KG=KD=BG=a.AK=FG=BG-BF=a-a,AK+DK=AD=BC,a-a+a=4-,解得a=.KD=a=2.過點G作GIKD于點I.由(2)可知KD=AF=2,GI=AB=

SDKG=×2×=.PD=m,PK=2m.PMDG,PNKG,四邊形PMGN是平行四邊形,DKG∽△PKM∽△DPN.,即SDPN=(2 .同理SPKM=(2 .SPMN=.S平行四邊形PMGN=2SPMN=2×=.又S平行四邊形PMGN=SDKGSDPNSPKM.,即m2-2m+1=0,解得m1=m2=1.

當SPMN=時,m的值為1.

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