【題目】如圖1,ABC是等腰直角三角形,BAC= 90°,AB=AC,四邊形ADEF是正方形,點B、C分別在邊AD、AF上,此時BD=CF,BDCF成立.

(1)當ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)θ(0°θ<90°)時,如圖2,BD=CF成立嗎?若成立,請證明;若不成立,請說明理由.

(2)當ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°時,如圖3,延長DB交CF于點H.

求證:BDCF;

當AB=2,AD=3時,求線段DH的長.

【答案】(1)BD=CF成立,理由詳見解析;(2)詳見解析;.

【解析】

試題分析:(1)先用SAS證明CAF≌△BAD,再用全等三角形的性質(zhì)即可得BD=CF成立;(2)利用HFN與AND的內(nèi)角和以及它們的等角,得到NHF=90°,即可得的結(jié)論;(3)連接DF,延長AB,與DF交于點M,利用BMD∽△FHD求解.

試題解析:(l)解:BD=CF成立.

證明:AC=AB,CAF=BAD=θ;AF=AD,ABD≌△ACF,BD=CF.

(2)證明:由(1)得,ABD≌△ACF,∴∠HFN=ADN,

HFN與ADN中,∵∠HFN=AND,HNF=AND,∴∠NHF=NAD=90°,

HDHF,即BDCF.

解:如圖,連接DF,延長AB,與DF交于點M.

MAD中,∵∠MAD=MDA=45°,∴∠BMD=90°.

在RtBMD與RtFHD中,∵∠MDB=HDF,∴△BMD∽△FHD.

AB=2,AD=3,四邊形ADEF是正方形,MA=MD==3.

MB=3-2=1,DB=.

..

DH=.

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