Question

．如圖，△ABC是等邊三角形，D為BC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（D與B、C均不重合），AD=AE，∠DAE=60°，連接CE．

（1）求證：△ABD≌△ACE；

（2）求證：CE平分∠ACF；

（3）若AB=2，當(dāng)四邊形ADCE的周長(zhǎng)取最小值時(shí)，求BD的長(zhǎng)．

Answer 1

【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)．

【分析】（1）由于AB=AC，AD=AE，所以只需證∠BAD=∠CAE即可得結(jié)論；

（2）證明∠ACE和∠ECF都等于60°即可；

（3）將四邊形ADCE的周長(zhǎng)用AD表示，AD最小時(shí)就是四邊形ADCE的周長(zhǎng)最小，根據(jù)垂線段最短原理，當(dāng)AD⊥BC時(shí)，AD最小，此時(shí)BD就是BC的一半．

【解答】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC，∠BAC=60°，

∵∠DAE=60°，

∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，

即∠BAD=∠CAE，

在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE．

（2）證明：∵△ABC是等邊三角形，

∴∠B=∠BCA=60°，

∵△ABD≌△ACE，

∴∠ACE=∠B=60°，

∵△ABD≌△ACE，

∴∠ACE=∠B=60°，

∴∠ECF=180﹣∠ACE﹣∠BCA=60°，

∴∠ACE=∠ECF，

∴CE平分∠ACF．

（3）解：∵△ABD≌△ACE，

∴CE=BD，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=BC=AC=2，

∴四邊形ADCE的周長(zhǎng)=CE+DC+AD+AE=BD+DC+2AD=2+AD，

根據(jù)垂線段最短，當(dāng)AD⊥BC時(shí)，AD值最小，四邊形ADCE的周長(zhǎng)取最小值，

∵AB=AC，

∴BD===1．

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)定理以及垂線段最短原理，關(guān)鍵是找出能使三角形全等的條件，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等．