Question

（2009•花都區(qū)二模）已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且BC=6，AB=DC=4，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P是BC邊上一點(diǎn)．
（1）當(dāng)BP=2時．求證：△BEP∽△CPD；
（2）若BP=5，過點(diǎn)P作射線PF，交CD所在的直線于點(diǎn)F，使得△BEP與△CPF相似．求此時CF的長度．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)兩組對應(yīng)邊的比相等且相應(yīng)的夾角相等的兩個三角形相似來判定；
（2）若要△BEP與△CPF相似，則只需∠BPE=∠CPF或∠BPE=∠CFP即可，那么分兩種情況進(jìn)行考慮．
解答：（1）證明：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，
∴∠B=∠C．（1分）
∵BE=2，BP=2，CP=4，CD=4，
∴，（3分）
∴△BEP∽△CPD．（4分）

（2）解：由已知，BP=5，BE=2，CP=1，（5分）
由（1）∠B=∠C，
若要△BEP與△CPF相似，
則只需∠BPE=∠CPF或∠BPE=∠CFP即可．（7分）
①當(dāng)∠BPE=∠CPF時（點(diǎn)F落在圖中F₁處），△BPE∽△CPF
此時，，可得CF=（9分）
②當(dāng)∠BPE=∠CFP時（點(diǎn)F落在圖中F₂處），△BPE∽△CFP
此時，，可得CF=（11分）
∴當(dāng)△BEP與△CPF相似時，CF的長度為或．（12分）
點(diǎn)評：主要考查對相似三角形的判定的理解及運(yùn)用，難易程度適中．