Question

已知：關(guān)于x的方程kx²-（4k+1）x+3k+3=0．
（1）請(qǐng)說(shuō)明：此方程必有實(shí)數(shù)根；
（2）若k為整數(shù)，且該方程的根都是整數(shù)，直接寫(xiě)出k的值．

Answer 1

考點(diǎn)：根的判別式,一元一次方程的解

專(zhuān)題：

分析：（1）當(dāng)k=0時(shí)，方程為一元一次方程，可求出x的值；當(dāng)k≠0時(shí)，方程為一元二次方程，可利用根的判別式解答．
（2））①k=0時(shí)，方程有根為3，符合題意；
②k≠0時(shí)，方程可化為（x-3）（kx-k-1）=0，根據(jù)k與方程根都是整數(shù)推理．

解答：解：（1）當(dāng)k=0時(shí)，方程為一元一次方程，即-x+3=0，解得x=3，符合題意；
當(dāng)k≠0時(shí)，方程為一元二次方程，
其判別式b²-4ac=（4k+1）²-4k（3k+1）=（2k-1）²≥0，恒有實(shí)數(shù)根，
綜上所述，此方程必有實(shí)數(shù)根；

（2）①k=0時(shí)，方程有根為3，符合題意；
②k≠0時(shí)，方程可化為（x-3）（kx-k-1）=0，
即x₁=3，x₂=

k+1

k

，
x₂=

k+1

k

=1+

1

k

，若k與方程根都是整數(shù)，則k只可以是1或-1，
綜上所述，k的值為0，1或-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了根的判別式與一元一次方程的解，利用“該方程的根都是整數(shù)”是解題的關(guān)鍵．