Question

如圖，已知點(diǎn)D為等腰直角△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠CAD＝∠CBD＝15°，E為AD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且CE＝CA．

（1）求證：DE平分∠BDC；

（2）若點(diǎn)M在DE上，且DC=DM，求證： ME=BD．

Answer 1

 證明：（1）在等腰直角△ABC中，

∵∠CAD=∠CBD=15^o，

∴∠BAD=∠ABD=45^o-15^o=30^o，

∴BD=AD，∴△BDC≌△ADC，

∴∠DCA=∠DCB=45^o．

由∠BDM=∠ABD+∠BAD=30^o+30^o=60^o，

∠EDC=∠DAC+∠DCA=15^o+45^o=60^o，

∴∠BDM=∠EDC，

∴DE平分∠BDC；  

（2）如圖，連接MC，

∵DC=DM，且∠MDC=60°，

∴△MDC是等邊三角形，即CM=CD．

又∵∠EMC=180°-∠DMC=180°-60°=120°，

∠ADC=180°-∠MDC=180°-60°=120°，

∴∠EMC=∠ADC．                  

又∵CE=CA，

∴∠DAC=∠CEM=15°，∴△ADC≌△EMC，

∴ME=AD=DB．