Question

如圖，已知二次函數(shù)的圖象是經(jīng)過A（1，0），B（3，0），E（0，6）三點(diǎn)的一條拋
物線．
（1）求該二次函數(shù)的解析式．
（2）設(shè)該拋物線的頂點(diǎn)為C，對稱軸交x軸于點(diǎn)D，在y軸上是否存在這樣的點(diǎn)P，使以點(diǎn)A、0、P為頂點(diǎn)的三角形與△ACD相似但不全等？若存在，請寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
（3）設(shè)Q為直線CD上一動點(diǎn)，S點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，0），ST為以Q為圓心，QA為半徑的⊙Q的切線，T為切點(diǎn)，試問：當(dāng)點(diǎn)Q在直線CD上移動時，切線ST的長是否發(fā)生變化？試證明你的結(jié)論．

Answer 1

（1）解：由題意可設(shè)二次函數(shù)的解析式為：y=a（x-1）（x-3），
又拋物線過點(diǎn)E（0，6）
∴6=a×（-1）×（-3）
解得：a=2，
故所求二次函數(shù)的解析式為：y=2（x-1）（x-3）=2x²-8x+6；

（2）解：由y=2x²-8x+6=2（x-2）²-2，
可知頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，-2），
點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，0），
CD=2，AD=1 則=2，
設(shè)在y軸上存在點(diǎn)P（0，y），
若△OAP與△ACD相似且不全等，
則==2或==，
當(dāng)OP=2OA時，△OAP≌△DAC，不合題意，
當(dāng)OP=OA時，即OP=時，△OAP與△DCA相似，
OP=|y|，
∴|y|=，
解得：y=±，
∴符合條件的點(diǎn)有兩個：P₁（0，），P₂（0，-）；

（3）當(dāng)點(diǎn)Q在直線CD上移動時，切線ST的長不發(fā)生變化；
理由：連接QS，QT．
∵拋物線的對稱軸CD為直線x=2，
點(diǎn)Q為直線x=2上的動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，q）
∴QA==，
QS==，
T為直線ST與⊙Q的切點(diǎn)，∴QT=QA=，
Rt△STQ中，ST²=SQ²-TQ²=（9+q²）-（1+q²）=8，
∴ST==2（常數(shù)）
∴點(diǎn)Q在直線CD上移動時，切線ST的長為常數(shù)2．
分析：（1）利用交點(diǎn)式將A（1，0），B（3，0），E（0，6）代入求出二次函數(shù)解析式即可；
（2）根據(jù)（1）中所求得出二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出△OAP與△ACD相似且不全等時，則==2或==，求出P點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（3）首先得出點(diǎn)Q為直線x=2上的動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，q），則QA==，QS==，得出ST的值即可．
點(diǎn)評：此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及相似三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理等知識，注意分類討論得出不要漏解．