Question

如圖，四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點P，過點P作直線交AD于點E，交BC于點F．若PE=PF，且AP+AE=CP+CF．
求證：PA=PC．

Answer 1

證明：在PA和PC的延長線上分別取點M、N，使AM=AE，CN=CF．
∵AP+AE=CP+CF，
∴PM=PN．
∵PE=PF，
∴四邊形EMFN是平行四邊形．
∴ME=FN，∠EMA=∠CNF．
又∵∠AME=∠AEM，∠CNF=∠CFN，
∴△EAM≌△FCN．
∴AM=CN．
∵PM=PN，
∴PA=PC．
分析：首先在PA和PC的延長線上分別取點M、N，使AM=AE，CN=CF，可得PN=PM，則易證四邊形EMFN是平行四邊形，則可得ME=FN，∠EMA=∠CNF，即可證得△EAM≌△FCN，則可得PA=PC．
點評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)等知識．此題圖形比較復(fù)雜，難度適中，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．