Question

已知：三角形紙片ABC中，∠C=90°，AB=12，BC=6，B′是邊AC上一點(diǎn)．將三角形紙片折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)B′重合，折痕與BC、AB分別相交于E、F．
（1）設(shè)BE=x，B′C=y，試建立y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫(xiě)出x的取值范圍；
（2）當(dāng)△AFB′是直角三角形時(shí)，求出x的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)得BE=B′E=x，在Rt△EB'C中利用勾股定理得y²+（6-x）²=x²，整理后即可得到y(tǒng)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得∠A=30°，由折疊的性質(zhì)得到∠FB'E=∠B=60°，然后討論：①當(dāng)∠AFB'=90°時(shí)，則∠AB′F=60°，易得∠B'EC=30°，
則B′C=

1

2

B′E，即y=

1

2

x，把y代入得到關(guān)于x的方程，解方程求出滿足條件的x的值；②當(dāng)∠AB'F=90°時(shí)，則∠EB'C=30°，即有EC=

1

2

EB′，即6-x=

1

2

x，解方程即可．

解答：解：（1）∵三角形紙片折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)B′重合，
∴BE=B′E，
∴B'E=x，CE=6-x，
在Rt△EB'C中，B'E²=CE²+B'C²，即y²+（6-x）²=x²，
∴y=

12x-36

=2

3x-9

（3≤x≤6）；

（2）∵∠C=90°，AB=12，BC=6，
∴∠A=30°，
∴∠FB'E=∠B=60°，
①當(dāng)∠AFB'=90°時(shí)，則∠AB′F=60°，
∴∠EB'C=60°，
∴∠B'EC=30°，
∴B′C=

1

2

B′E，即y=

1

2

x，
∴2

3x-9

=

1

2

x，解得x=24±12

3

，
∵3≤x≤6，
∴x=24-12

3

；
②當(dāng)∠AB'F=90°時(shí)，則∠EB'C=30°，
∴EC=

1

2

EB′，即6-x=

1

2

x，解得x=4，
所以x=4或24-12

3

時(shí)，△AFB’是直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊前后兩圖形全等，即對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等．也考查了含30度的直角三角形三邊的關(guān)系以及勾股定理．