Question

如圖1，已知拋物線y=ax²+bx（a≠0）經(jīng)過A（3，0）、B（4，4）、D(2, n)三點．

（1）求拋物線的解析式及點D坐標(biāo)；

（2）點M是拋物線對稱軸上一動點，求使BM－AM的值最大時的點M的坐標(biāo)；

（3）如圖2，將射線BA沿BO翻折，交y軸于點C，交拋物線于點N，求點N的坐標(biāo)；

(4)在（3）的條件下，連結(jié)ON,OD，如圖2，請求出所有滿足△POD∽△NOB的點P坐標(biāo)（點P、O、D分別與點N、O、B對應(yīng)）．

 

Answer 1

【答案】

（1）y=x²﹣3x；（2，﹣2）；（2）（，）；（3）（）；（4）（）或（）．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，將（3，0）、B（4，4）代入y=ax²+bx即可求得拋物線的解析式，令x=2，即可求得點D坐標(biāo)；

（2）拋物線對稱軸上使BM－AM的值最大時的點M即直線AB與拋物線對稱軸的交點，從而應(yīng)用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，即可求得點M的坐標(biāo)；

（3）用待定系數(shù)法求出直線CB的解析式，由點N在直線CB和拋物線y=x²﹣3x上，即可求出N點的坐標(biāo)；

（4）應(yīng)用對稱或旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可求得點P的坐標(biāo).

試題解析：（1）∵拋物線y=ax²+bx（a≠0）經(jīng)過A（3，0）、B（4，4），

∴拋物線的解析式是y=x²﹣3x．∴D點的坐標(biāo)為（2，﹣2）．

（2）設(shè)直線AB解析式為：y=kx+m,      將 A（3，0）、B（4，4）代人得

，解得. ∴直線AB解析式為：.

∵拋物線對稱軸為，當(dāng)時， ，

 ∴當(dāng)點M（，）時，BM－AM的值最大.

（3）∵直線OB的解析式為y=x，且A（3，0），

根據(jù)軸對稱性質(zhì)得出∠CBO=∠ABO，∠COB=∠AOB，OB=OB, ∴△AOB≌△COB.

∴OC=OA. ∴點C（0，3）.

設(shè)直線CB的解析式為y=kx+3，過點（4，4），∴直線CB的解析式是.

∵點N在直線CB上，∴設(shè)點N（n，）.

又點N在拋物線y=x²﹣3x上，∴，解得：n₁=，n₂=4（不合題意，舍去）。

∴N點的坐標(biāo)為（）．

（4）如圖，將△NOB沿x軸翻折，得到△N₁OB₁，則N₁（），B₁（4，﹣4），

∴O、D、B₁都在直線y=﹣x上．

∵△P₁OD∽△NOB，△NOB≌△N₁OB₁，∴△P₁OD∽△N₁OB₁. ∴.

 ∴點P₁的坐標(biāo)為（）.

將△OP₁D沿直線y=﹣x翻折，可得另一個滿足條件的點P₂（）.

綜上所述，點P的坐標(biāo)是（）或（）．

考點：1.單動點和翻折問題；2. 待定系數(shù)法的應(yīng)用，3. 曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系；4.二次函數(shù)的性質(zhì)；5.相似三角形的判定和性質(zhì)，6.分類思想的應(yīng)用.