Question

【題目】綜合與探究

如圖1，拋物線y=ax2+bx+2與x軸交于A（﹣1，0），B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，BC．D為坐標(biāo)平面第四象限內(nèi)一點(diǎn)，且使得△ABD與△ABC全等．

（1）求拋物線的表達(dá)式．

（2）請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)，并判斷四邊形ACBD的形狀．

（3）如圖2，將△ABD沿y軸的正方形以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度平移，得到△A′B′D′，A′B′與BC交于點(diǎn)E，A′D′與AB交于點(diǎn)F．連接EF，AB′，EF與AB′交于點(diǎn)G．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（0≤t≤2）秒．

①當(dāng)直線EF經(jīng)過(guò)拋物線的頂點(diǎn)T時(shí)，請(qǐng)求出此時(shí)t的值；

②請(qǐng)直接寫出點(diǎn)G經(jīng)過(guò)的路徑的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x+2；（2）D（3，﹣2）．四邊形ACBD是矩形，理由見(jiàn)解析；（3）①t的值為；②點(diǎn)G經(jīng)過(guò)的路徑的長(zhǎng)為1．

【解析】

（1）將A點(diǎn)和B點(diǎn)坐標(biāo)代入y=ax2+bx+2得a、b的方程組，解此方程組即可得答案，

（2）先利用勾股定理的逆定理證明△ACB為直角三角形，∠ACB=90°，根據(jù)△ABD與△ABC全等可知AC=BD，BC=AD，則可證明四邊形ABCD為矩形；過(guò)點(diǎn)D作DM⊥x軸于M，通過(guò)證明△COB≌△DMA，即可求出D點(diǎn)坐標(biāo)，

（3）①利用二次函數(shù)的性質(zhì)得到頂點(diǎn)T的坐標(biāo)為（）；可得直線BC的解析式為y=﹣x+2，直線AD的解析式為y= -x﹣，利用直線的平移得到直線A′D′的解析式為y=﹣x﹣+t，直線A′B′的解析式為y=t，則F（2t﹣1，0），E（4﹣2t，t），接著利用待定系數(shù)法求出直線EF的解析式為y=，然后把T點(diǎn)坐標(biāo)代入得到關(guān)于t的方程，然后解此方程即可；

②先求出直線AB′的解析式為y=，再解方程組 得G（），利用G點(diǎn)的坐標(biāo)特征可判斷點(diǎn)G在直線x=，然后利用0≤t≤2得到點(diǎn)G經(jīng)過(guò)的路徑的長(zhǎng)

（1）將A（﹣1，0），B（4，0）兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y=ax2+bx+2得 ，解得，

∴拋物線的表達(dá)式為y=﹣x2+x+2；

（2）D（3，﹣2）．四邊形ACBD是矩形，理由如下：

當(dāng)x=0時(shí)，得y=2，

∴OC=2，由A（﹣1，0），B（4，0）得OA=1，OB=4．

∴AC2=12+22=5，BC2=22+42=20，AB2=52=25，

∴AC2+BC2=AB2，

∴△ACB為直角三角形，∠ACB=90°，

∵△ABD與△ABC全等，

∴AC=BD，BC=AD，

∴四邊形ABCD為平行四邊形，

而∠ACB=90°，

∴四邊形ABCD為矩形.

如圖，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥x軸于M，

∵∠COB=∠AMD=90°，∠CBA=∠DAB，BC=AD，

∴△COB≌△DMA，

∴AM=OB，OC=DM=2，

∴OM=AM-1=OB-1=3

∴D（3，-2）

（3）①∵y=﹣x2+x+2=﹣（x﹣）2+，

∴頂點(diǎn)T的坐標(biāo)為（）；

∵B(4,0) , C(0,2), A(-1,0) D(3,-2)

∴直線BC的解析式為y=﹣x+2，直線AD的解析式為y=﹣x﹣，

∵直線AD向上平移t個(gè)單位得到A′D′，直線AB向上平移t個(gè)單位得到A′B′，

∴直線A′D′的解析式為y=﹣x﹣+t，直線A′B′的解析式為y=t，

當(dāng)y=0時(shí)，﹣ x﹣+t=0，解得x=2t﹣1，則F（2t﹣1，0），

當(dāng)y=t時(shí)，﹣ x+2=t，解得x=4﹣2t，則E（4﹣2t，t），

設(shè)直線EF的解析式為y=mx+n，

把E（4﹣2t，t），F(xiàn)（2t﹣1，0）代入得 ，解得 ，

∴直線EF的解析式為y=，

把T（）代入得，

整理得16t2﹣120t+125=0，解得t1=，t2=（舍去），

∴此時(shí)t的值為；

②∵直線AB向上平移t個(gè)單位得到A′B′，

∴B′（4，t），

易得直線AB′的解析式為y=tx+t，

解方程組得，則G（），

∴點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為定值，點(diǎn)G在直線x=上，

而0≤t≤2，

∴點(diǎn)G經(jīng)過(guò)的路徑的長(zhǎng)為1．