Question

如圖所示，正方形ABCD的邊長為3cm，Rt△EFG中，∠EGF=90°，FG=8cm，EG=6cm，點B、C、E、G在直線l上，正方形ABCD由C、E重合的位置開始，以1厘米/秒的速度沿直線l按箭頭所表示的方向作勻速直線運動．
（1）當正方形ABCD運動時，分別求點D、A運動到EF上的時間；
（2）設x秒后，正方形ABCD與△EFG重疊部分的面積為ycm²，求y與x的函數關系式并求出自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據D、A到EF的長度分別為

9

4

cm和

21

4

cm，即可得出D、A運動到到EF的時間分別為

9

4

秒和

21

4

秒；
（2）此題要根據C點的不位置分情況討論，①當0≤x＜

9

4

時，②當

9

4

≤x＜3時，③當3≤x＜

21

4

時，④當

21

4

≤x＜6時，⑤當6≤x＜9，討論即可得出結果．

解答：解：（1）D、A到EF的長度分別為

9

4

cm和

21

4

cm，
∴D、A運動到到EF的時間分別為

9

4

秒和

21

4

秒；

（2）當0≤x＜

9

4

時，
如圖①，設CD與EF交于H₁，
由△ECH₁∽△EGF得

CH1

FG

=

EC

EG

，CH1=

EC

EG

•FG=

4

3

x，
∴y=

1

2

EC•CH=

1

2

x•

4

3

x=

2

3

x2，
②當

9

4

≤x＜3時，
如圖②設AD交EF于M，過M作MH⊥L于H，
由△EMH∽△EFG得：

EH

EG

=

MH

FG

，
得MD=x-

9

4

，
∴y=

1

2

(x-

9

4

+x)•3=3x-

27

8

，
③當3≤x＜

21

4

時，
如圖③設AB與EF交于H₂，
由△EBH₂∽△BGF得：BH₂=

EB

EG

•FG=

4

3

(x-3)，AH2=3-BH2=

21

3

-

4

3

x，
同樣：AM=

AH2

FG

•EG=

3

4

(

21

3

-

4

3

x)=

21

4

-x，
y=S_{正方形ABCD}-S_△AMH2=9-

1

2

(

21

3

-

4

3

x)(

21

4

-x)=-

2

3

(x-

21

4

)2+9，
④當

21

4

≤x＜6時，y=9，
⑤當6≤x＜9，y=3（9-x）=-3x+27．

點評：本題主要考查了正方形的性質、相似三角形的判定和性質以及梯形面積的計算方法，同時還考查了分類討論的數學思想，難度適中．