Question

數(shù)學(xué)問(wèn)題：計(jì)算

1

m

+

1

m2

+

1

m3

+…+

1

mn

（其中m，n都是正整數(shù)，且m≥2，n≥1）．
探究問(wèn)題：為解決上面的數(shù)學(xué)問(wèn)題，我們運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，通過(guò)不斷地分割一個(gè)面積為1的正方形，把數(shù)量關(guān)系和幾何圖形巧妙地結(jié)合起來(lái)，并采取一般問(wèn)題特殊化的策略來(lái)進(jìn)行探究．
探究一：計(jì)算

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

．
第1次分割，把正方形的面積二等分，其中陰影部分的面積為

1

2

；
第2次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)二等分，陰影部分的面積之和為

1

2

+

1

22

；
第3次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)二等分，…；
…
第n次分割，把上次分割圖中空白部分的面積最后二等分，所有陰影部分的面積之和為

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

，最后空白部分的面積是

1

2n

．
根據(jù)第n次分割圖可得等式：

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

=1-

1

2n

．

探究二：計(jì)算

1

3

+

1

32

+

1

33

+…+

1

3n

．
第1次分割，把正方形的面積三等分，其中陰影部分的面積為

2

3

；
第2次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)三等分，陰影部分的面積之和為

2

3

+

2

32

；
第3次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)三等分，…；
…
第n次分割，把上次分割圖中空白部分的面積最后三等分，所有陰影部分的面積之和為

2

3

+

2

32

+

2

33

+…+

2

3n

，最后空白部分的面積是

1

3n

．
根據(jù)第n次分割圖可得等式：

2

3

+

2

32

+

2

33

+…+

2

3n

=1-

1

3n

，
兩邊同除以2，得

1

3

+

1

32

+

1

33

+…+

1

3n

=

1

2

-

1

2×3n

．

探究三：計(jì)算

1

4

+

1

42

+

1

43

+…+

1

4n

．
（仿照上述方法，只畫(huà)出第n次分割圖，在圖上標(biāo)注陰影部分面積，并寫(xiě)出探究過(guò)程）

解決問(wèn)題：計(jì)算

1

m

+

1

m2

+

1

m3

+…+

1

mn

．
（只需畫(huà)出第n次分割圖，在圖上標(biāo)注陰影部分面積，并完成以下填空）
根據(jù)第n次分割圖可得等式：

 

，
所以，

1

m

+

1

m2

+

1

m3

+…+

1

mn

=

 

．
拓廣應(yīng)用：計(jì)算 

5-1

5

+

52-1

52

+

53-1

53

+…+

5n-1

5n

．

Answer 1

考點(diǎn)：作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖,規(guī)律型：圖形的變化類

專題：壓軸題,閱讀型,規(guī)律型

分析：探究三：根據(jù)探究二的分割方法依次進(jìn)行分割，然后表示出陰影部分的面積，再除以3即可；
解決問(wèn)題：按照探究二的分割方法依次分割，然后表示出陰影部分的面積及，再除以（m-1）即可得解；
拓廣應(yīng)用：先把每一個(gè)分?jǐn)?shù)分成1減去一個(gè)分?jǐn)?shù)，然后應(yīng)用公式進(jìn)行計(jì)算即可得解．

解答：解：探究三：第1次分割，把正方形的面積四等分，

其中陰影部分的面積為

3

4

；
第2次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)四等分，
陰影部分的面積之和為

3

4

+

3

42

；
第3次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)四等分，
…，
第n次分割，把上次分割圖中空白部分的面積最后四等分，
所有陰影部分的面積之和為：

3

4

+

3

42

+

3

43

+…+

3

4n

，
最后的空白部分的面積是

1

4n

，
根據(jù)第n次分割圖可得等式：

3

4

+

3

42

+

3

43

+…+

3

4n

=1-

1

4n

，
兩邊同除以3，得

1

4

+

1

42

+

1

43

+…+

1

4n

=

1

3

-

1

3×42

；

解決問(wèn)題：

m-1

m

+

m-1

m2

+

m-1

m3

+…+

m-1

mn

=1-

1

mn

，

1

m

+

1

m2

+

1

m3

+…+

1

mn

=

1

m-1

-

1

(m-1)×mn

；
故答案為：

3

4

+

3

42

+

3

43

+…+

3

4n

=1-

1

4n

，

1

m-1

-

1

(m-1)×mn

；


拓廣應(yīng)用：

5-1

5

+

52-1

52

+

53-1

53

+…+

5n-1

5n

，
=1-

1

5

+1-

1

52

+1-

1

53

+…+1-

1

5n

，
=n-（

1

5

+

1

52

+

1

53

+…+

1

5n

），
=n-（

1

4

-

1

4×5n

），
=n-

1

4

+

1

4×5n

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，圖形的變化規(guī)律，讀懂題目信息，理解分割的方法以及求和的方法是解題的關(guān)鍵．