Question

如圖，正方形ABCD中，AB=4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，DC上，且△BEF為等邊三角形，則△EDF與△BFC的面積比為（　　）

• A、2：1
• B、3：1
• C、3：2
• D、5：3

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=BC，∠A=∠C=90°，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得BE=BF，然后利用“HL”證明Rt△ABE和Rt△CBF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AE=CF，然后求出DE=DF，從而得到△DEF是等腰直角三角形，設(shè)DE=DF=x，表示出EF、CF，然后在Rt△BCF中利用勾股定理列出方程表示出x²，然后表示出S_△EDF和S_△BFC，求解即可．

解答：解：在正方形ABCD中，AB=BC，∠A=∠C=90°，
∵△BEF為等邊三角形，
∴BE=BF，
在Rt△ABE和Rt△CBF中，

BE=BF AB=BC

，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL），
∴AE=CF，
∴AD-AE=CD-CF，
即DE=DF，
∴△DEF是等腰直角三角形，
設(shè)DE=DF=x，則EF=

2

x，CF=4-x，
在Rt△BCF中，BC²+CF²=BF²，
即4²+（4-x）²=（

2

x）²，
整理得，x²=8（4-x），
∵S_△EDF=

1

2

x²=4（4-x），
S_△BFC=

1

2

×4（4-x），
∴△EDF與△BFC的面積比為2：1．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵在于求出△DEF是等腰直角三角形，難點(diǎn)在于分別表示出兩個(gè)三角形的面積．