Question

如圖，已知在邊長為8的正方形ABCD中，E是BC邊的中點(diǎn)，P在過A、E、D三點(diǎn)的圓上，則△APE面積的最大值是（　�。�

• A、10

  5

  +10
• B、10

  5

  +5
• C、32
• D、5

  5

  +20

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),勾股定理,垂徑定理

專題：

分析：設(shè)圓心為O，根據(jù)垂徑定理點(diǎn)P在AE的垂直平分線上時(shí)，△APE面積的最大，過點(diǎn)E作EF⊥AD于F，連接AO，設(shè)圓的半徑為r，在Rt△AOF中，利用勾股定理列式求出r，設(shè)PO與AE交點(diǎn)為G，利用勾股定理列式求出AE，再求出OG，然后求出PG的長度，再根據(jù)三角形的面積列式計(jì)算即可得解．

解答：解：如圖，設(shè)圓心為O，
由垂徑定理得，點(diǎn)P在AE的垂直平分線上時(shí)，點(diǎn)P到AE的距離最大，△APE面積的最大，
過點(diǎn)E作EF⊥AD于F，連接AO，
設(shè)圓的半徑為r，
∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，
∴BE=

1

2

BC=

1

2

×8=4，
在Rt△AOF中，AO²=AF²+OF²，
即r²=4²+（8-r）²，
解得r=5，
在Rt△ABE中，AE=

AB2+BE2

=

82+42

=4

5

，
設(shè)PO與AE交點(diǎn)為G，則AG=

1

2

AE=

1

2

×4

5

=2

5

，
在Rt△AOG中，OG=

AO2-AG2

=

52-(2 5 )2

=

5

，
∴PG=5+

5

，
∴△APE的最大面積=

1

2

×4

5

×（5+

5

）=10

5

+10．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，垂徑定理，熟記各性質(zhì)與定理并判斷出三角形的面積最大時(shí)點(diǎn)P的位置是解題的關(guān)鍵，作出圖形更形象直觀．