Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，tan∠ABC＝，BD為對角線，∠ABD+∠BDC＝90°，過點(diǎn)A作AE⊥BD于點(diǎn)E，連接CE，若AE＝DE，EC＝DC＝5，則△ABC的面積為_____．

Answer 1

【答案】．

【解析】

延長CE交AB于點(diǎn)H，延長DC、AE相交于點(diǎn)K，根據(jù)垂直的定義可得∠AEB＝∠AED＝90°，又∠ABD+∠BDC＝90°，設(shè)∠ABD＝α，用α的代數(shù)式分別表示出∠BDC、∠BAE、∠CED、∠CDE、∠AEH，由sinK＝sin∠ABD求出AB的值，設(shè)CH＝7a，BH＝6a，分別用a的代數(shù)式表示出HE、AH，再根據(jù)tan∠AEH＝tan∠ABE可得EH2＝AHBH，據(jù)此得出a的值，進(jìn)而得出CH的值，再根據(jù)三角形的面積公式即可得出△ABC的面積．

如圖，延長CE交AB于點(diǎn)H，延長DC、AE相交于點(diǎn)K，

∵AE⊥BD，

∴∠AEB＝∠AED＝90°，

∵∠ABD+∠BDC＝90°，

設(shè)∠ABD＝α，則∠BDC＝90°﹣α，

∴∠BAE＝90°﹣∠ABE＝90°﹣α，

∵EC＝DC，

∴∠CED＝∠CDE＝90°﹣α，

∵∠AEH＝∠KEC＝∠DEK﹣∠CED＝α，

∴∠BHE＝∠BAE +∠AEH =90°，

∵∠K+∠KDE＝90°，∠CED+∠CEK＝90°，∠KDE=∠CED，

∴∠K=∠CEK＝α，

∴CK=CE=CD=5，即：DK=10，

∴sinK＝sin∠ABD，即，

∴，

解得：，

∵，tan∠ABC＝，

∴設(shè)CH＝7a，BH＝6a，

∴HE＝HC﹣CE＝7a﹣5，AH＝AB﹣BH＝，

∵∠AEH＝∠ABE=α，

∴tan∠AEH＝tan∠ABE，

∴EH2＝AHBH，即(7a﹣5)2=()6a

解得：（舍去），

∴CH＝7a＝7，

∴．

故答案為：．