解:(1)由x
2-2x-3=0,得x=-1或x=3.
∵x
1<x
2,
∴x
1=-1,x
2=3,
∴A(-1,0),B(3,0);
(2)把A,B兩點的坐標分別代入y=ax
2+bx+2聯(lián)立求解,
得
.
∴此拋物線的解析式為
.
∵當x=0時,y=2,
∴C(0,2).
設AC的解析式為y=kx+n(k≠0),把A,C兩點坐標分別代入y=kx+n,
聯(lián)立求得k=2,n=2.
∴直線AC的解析式為y=2x+2;
(3)假設存在滿足條件的點P,并設直線y=m與y軸的交點為F(0,m)
①當DE為腰時,分別過點D,E作DP
1⊥x軸于P
1,作EP
2⊥x軸于P
2,如圖1,則△P
1DE和△P
2ED都是等腰直角三角形,
∴DE=DP
1=FO=EP
2=m.
∵AB=x
2-x
1=4,
又∵DE∥AB,
∴△CDE∽△CAB,
∴
,即
.
解得
.
∴點D的縱坐標是
.
∵點D在直線AC上,
∴
,
解得
,
∴
.
∴
.
同理可求P
2(1,0).
②如圖2,當DE為底邊時,過DE的中點G作GP
3⊥x軸于點P
3∵P
3D=P
3E,∠DP
3E=90°,
∴DG=EG=GP
3=m,
由△CDE∽△CAB,
得
,即
,
解得m=1.
同①方法求得
,
∴DG=EG=GP
3=1.
∴
,
∴
.
綜上所述,滿足條件的點P共有3個,
即
.
如有其他解(證)法,請酌情給分.
分析:(1)由于拋物線y=ax
2+bx+2與x軸交于點A(x
1,0),B(x
2,0)(x
1<x
2),且x
1,x
2是方程x
2-2x-3=0的兩個實數(shù)根,那么解方程x
2-2x-3=0即可得到點A,B的坐標;
(2)首先把A,B兩點的坐標分別代入y=ax
2+bx+2可以得到關于a、b的方程組,解方程組即可求出a、b的值,同時可以得到c的值,最后利用待定系數(shù)法即可求出直線AC的解析式;
(3)假設存在滿足條件的點P,并設直線y=m與y軸的交點為F(0,m).
①當DE為腰時,分別過點D,E作DP
1⊥x軸于P
1,作EP
2⊥x軸于P
2,如圖1,則△P
1DE和△P
2ED都是等腰直角三角形,然后證明△CDE∽△CAB,接著利用相似三角形的性質(zhì)求出m,然后求出點D的縱坐標,也就求出了P的坐標;
②如圖2,當DE為底邊時,過DE的中點G作GP
3⊥x軸于點P
3.同樣的方法可以求出D的縱坐標,也就求出了P的坐標.
點評:本題是二次函數(shù)的綜合題型,其中涉及到的知識點有拋物線的頂點公式和相似三角形的性質(zhì)與判定及待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式.在求有關動點問題時要注意分析題意分情況討論結果.