【題目】已知拋物線y=-x2-mx+2m2(m<0)與x軸交于A,B兩點(diǎn),且點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè).
(1)求證:OB=2OA;
(2)若直線y=-x+2與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn),求m的值.
(3)若點(diǎn)C與點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱,且以點(diǎn)C為圓心,CO為半徑的圓交拋物線于點(diǎn)D,求證:DO平分∠ADB.
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)當(dāng)時(shí),直線y=-x+2與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn);(3)見(jiàn)解析.
【解析】
(1)令y=0,代入y=-x2-mx+2m2,求出A(m,0),B(-2m,0),進(jìn)而得OB=2OA;
(2)聯(lián)立,得x2+(m-1)x+(2-2m2)=0,結(jié)合直線y=-x+2與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn),得△=0,進(jìn)而即可求解;
(3)以點(diǎn)C為圓心,CO為半徑的圓交拋物線于點(diǎn)D,交點(diǎn)有兩個(gè),分兩種情況:①當(dāng)D在x軸上方時(shí),②當(dāng)D在x軸下方時(shí),分別求證,即可.
(1)∵拋物線y=-x2-mx+2m2(m<0)與x軸交于A、B兩點(diǎn),
∴關(guān)于x的方程-x2-mx+2m2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1和x2,
解得:x1=m,x2=-2m,
∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊,且m<0,
∴A(m,0),B(-2m,0),
∴OA=-m,OB=-2m,
∴OB=2OA;
(2)∵直線y=-x+2與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn),
∴只有一組實(shí)數(shù)解,消y得:x2+(m-1)x+(2-2m2)=0,
∴△=0,即(m-1)2-4×1×(2-2m2)=0,
整理得:9m2-2m-7=0,
解得:m1=1(不合題意舍去),.
∴當(dāng)時(shí),直線y=-x+2與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn);
(3)以點(diǎn)C為圓心,CO為半徑的圓交拋物線于點(diǎn)D,交點(diǎn)有兩個(gè),
∴CO=CD,
①當(dāng)D在x軸上方時(shí),如圖1,連接CD,
∵點(diǎn)C與點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱,
∴OC=2OA=2AC,
又由(1)得OB=2OA,
∴BC=2OC,
∴=,
∵∠DCA=∠BCD,
∴△DCA∽△BCD,
∴BD=2AD,
∵OB=2OA,
∴S△BOD=2S△AOD,
過(guò)O點(diǎn)分別作△BOD、△AOD的高ON,OM,
∴S△BOD=,S△AOD=
∴BDON=2ADOM,
∴ON=OM,
∴OD是∠ADB的平分線,即DO平分∠ADB;
②當(dāng)D在x軸下方時(shí),如圖2,
同理①,可得DO平分∠ADB.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)A在雙曲線y=的第一象限的那一支上,AB垂直于x軸與點(diǎn)B,
點(diǎn)C在x軸正半軸上,且OC=2AB,點(diǎn)E在線段AC上,且AE=3EC,點(diǎn)D為OB的中點(diǎn),若△ADE
的面積為3,則k的值為 ▲ .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)C,E,F,B在同一直線上,點(diǎn)A,D在BC異側(cè),AB∥CD,AE=DF,∠A=∠D.
(1)求證:BE=CF.
(2)若AB=CF,∠B=40°,求∠D的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,拋物線與x軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D為線段AC的中點(diǎn),直線BD與拋物線交于另一點(diǎn)E,與y軸交于點(diǎn)F.
(1)如圖1,點(diǎn)P是直線BE上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn),連接PD,PF,當(dāng)△PDF的面積最大時(shí),在線段BE上找一點(diǎn)G,使得PG﹣EG的值最小,求出PG﹣EG的最小值;
(2)如圖2,點(diǎn)M為拋物線上一點(diǎn),點(diǎn)N在拋物線的對(duì)稱軸上,點(diǎn)K為平面內(nèi)一點(diǎn),當(dāng)以點(diǎn)A、M、N、K為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時(shí),直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】“如果二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn),那么一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.”請(qǐng)根據(jù)你對(duì)這句話的理解,解決下面問(wèn)題:若m、n(m<n)是關(guān)于x的方程1﹣(x﹣a)(x﹣b)=0的兩根,且a<b,則a、b、m、n的大小關(guān)系是( ).
A. B.
C. D.
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【題目】某電視臺(tái)的一檔娛樂(lè)性節(jié)目中,在游戲PK環(huán)節(jié),為了隨機(jī)分選游戲雙方的組員,主持人設(shè)計(jì)了以下游戲:用不透明的白布包住三根顏色長(zhǎng)短相同的細(xì)繩AA1、BB1、CC1,只露出它們的頭和尾(如圖所示),由甲、乙兩位嘉賓分別從白布兩端各選一根細(xì)繩,并拉出,若兩人選中同一根細(xì)繩,則兩人同隊(duì),否則互為反方隊(duì)員.
(1)若甲嘉賓從中任意選擇一根細(xì)繩拉出,求他恰好抽出細(xì)繩AA1的概率;
(2)請(qǐng)用畫(huà)樹(shù)狀圖法或列表法,求甲、乙兩位嘉賓能分為同隊(duì)的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,點(diǎn)P是AB上(不含端點(diǎn)A,B)任意一點(diǎn),把△PBC沿PC折疊,當(dāng)點(diǎn)B′的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在矩形ABCD的對(duì)角線上時(shí),BP=__________________________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(4,0),(3,2).
(1)畫(huà)出△AOB關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的圖形△COD;
(2)將△AOB繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到△EOF,畫(huà)出△EOF;
(3)點(diǎn)D的坐標(biāo)是 ,點(diǎn)F的坐標(biāo)是 ,此圖中線段BF和DF的關(guān)系是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知△ABC.按如下步驟作圖:①以A為圓心,AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)。虎谝C為圓心,CB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,兩弧相交于點(diǎn)D;③連結(jié)BD,與AC交于點(diǎn)E,連結(jié)AD,CD
(1)求證:△ABC≌△ADC;
(2)若∠BAC=30°,∠BCA=45°,BC=2;
①求∠BAD所對(duì)的弧BD的長(zhǎng);②直接寫(xiě)出AC的長(zhǎng).
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