Question

如圖，已知△ABC．
（1）根據(jù)要求畫圖：在圖中找出點(diǎn)P，使點(diǎn)P到∠B兩邊的距離相等，且使PA=PC；
（2）連結(jié)PA、PC，如果∠ABC=60°，求∠APC．

Answer 1

解：（1）如圖所示：

（2）過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AB，垂足為M；過(guò)點(diǎn)P作PN⊥BC，垂足為N．
∵BP平分∠ABC，PM⊥AB，PN⊥BC，
∴PM=PN，∠AMP=∠CNP=90°，
∵PH垂直平分AC，
∴AP=PC，
∵在Rt△AMP和Rt△CNP中，
，
∴Rt△AMP≌Rt△CNP（HL）．
∴∠MPA=∠NPC．
∴∠APC=∠NPC+∠APN=∠MPA+∠APN=∠MPN．
∵∠ABC=60°，∠AMP=∠CNP=90°，
∴∠APC=∠MPN=120°．
分析：（1）首先做AC的垂直平分線，再作∠B的角平分線，兩線的交點(diǎn)就是P點(diǎn)；
（2）過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AB，垂足為M；過(guò)點(diǎn)P作PN⊥BC，垂足為N，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得PM=PN，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得PA=PC，進(jìn)而可證出Rt△AMP≌Rt△CNP，可得∠MPA=∠NPC．進(jìn)而可證出∠APC=∠MPN，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和即可得到答案．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了復(fù)雜作圖，以及角的計(jì)算，全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是正確畫出圖形，掌握角平分線與線段垂直平分線的性質(zhì)．