如圖:在等腰梯形ABCD中,AB=DC=5,AD=4,BC=10.點E在下底邊BC上,點F在腰AB上.

①、則梯形的高是      ;

②、若EF平分等腰梯形ABCD的周長,設(shè)BE長為,試用含的代數(shù)式表示△BEF的面積;

③、是否存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時平分?若存在,求出此BE的長;若不存在,請說明理由;

④、是否存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時分成1︰2的兩部分?若存在,求此時BE的長;若不存在,請說明理由.

 

【答案】

①4;②;③存在,7;④存在,

【解析】

試題分析:①過點A作AH⊥BC于點H,根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)可求得BH的長,然后根據(jù)勾股定理求解即可;

②根據(jù)題意畫出BE的高FM,然后,推出梯形周長的一半(即12),即可知BF=12x,通過求證△FBM∽△ABH,即可推出高FM關(guān)于x的表達式,最后根據(jù)三角形的面積公式,即可表示出△BEF的面積;

③通過計算等腰梯形的面積,即可推出其一半的值,然后結(jié)合結(jié)論(2)即可推出結(jié)論;

④首先提出假設(shè)成立,然后,分情況進行討論,①若當BE+BF=8,△BEF的面積=,根據(jù)題意列出方程,求出x;②若當BE+BF=16,△BEF的面積=時,根據(jù)題意列出方程,求出x,最后即可確定假設(shè)不成立,即可推出結(jié)論.

試題解析:①過點A作AH⊥BC于點H

∵等腰梯形ABCD中,AB=DC=5,AD=4,BC=10,

∴BH=(BCAD)÷2=3,

,即梯形的高為4;

②過點F作FM⊥BC于點M

∵等腰梯形ABCD中,AB=DC=5,AD=4,BC=10,

∴等腰梯形ABCD的周長=24,

∵EF平分等腰梯形ABCD的周長,

∴BF+BE=12,

∵BE=x,

∴BF=12x,

∵FM∥AH,

∴△FBM∽△ABH,

∴BF:AB=FM:AH,

,

,

∴△BEF的面積

③假設(shè)線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時平分.

∵等腰梯形ABCD中,AH=4,AD=4,BC=10,

∴等腰梯形ABCD面積的一半=4(4+10)÷2÷2=14,

∵當線段EF將等腰梯形ABCD的周長平分時,△BEF的面積關(guān)于x的函數(shù)表達式為,

,

∴整理方程得:,

,

解方程得:

∵當時,

,不符合題意,舍去,

∴當BE=7時,線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時平分;

④假設(shè)存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時分成1:2的兩部分.

∵等腰梯形ABCD的周長=24,等腰梯形ABCD的面積=28,

則①若當BE+BF=8,△BEF的面積=,

∵BE=x,

∴BF=8x,

∵FM∥AH,

∴△FBM∽△ABH,

∴BF:AB=FM:AH,

,

∴△BEF的面積,

時,

整理方程得:,

∴故方程無實數(shù)解,

∴此種情況不存在;

②若當BE+BF=16,△BEF的面積=時,

,

∴△BEF的面積

,

整理方程得:,

解方程得:(舍去),

∴當時,線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時分成1:2的兩部分.

考點:1.等腰梯形的性質(zhì);2.勾股定理;3.一元二次方程的應(yīng)用;4.解直角三角形

 

練習(xí)冊系列答案
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(1)當PQ將梯形ABCD分成兩個直角梯形時,求t的值;
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(3)當(2)的條件下,設(shè)線段PQ與梯形AB∥⊥CD的中位線EF交于O點,那么OE與OF的長度有什么關(guān)系?借助備用圖說明理由;并進一步探究:對任何一個梯形,當一直線l經(jīng)過梯形中位線的中點并滿足什么條件時,一定能平分梯形的面積?(只要求說出條件,不需要證明)

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