如圖:在等腰梯形ABCD中,AB=DC=5,AD=4,BC=10.點E在下底邊BC上,點F在腰AB上.
①、則梯形的高是 ;
②、若EF平分等腰梯形ABCD的周長,設(shè)BE長為,試用含的代數(shù)式表示△BEF的面積;
③、是否存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時平分?若存在,求出此BE的長;若不存在,請說明理由;
④、是否存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時分成1︰2的兩部分?若存在,求此時BE的長;若不存在,請說明理由.
①4;②;③存在,7;④存在,
【解析】
試題分析:①過點A作AH⊥BC于點H,根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)可求得BH的長,然后根據(jù)勾股定理求解即可;
②根據(jù)題意畫出BE的高FM,然后,推出梯形周長的一半(即12),即可知BF=12x,通過求證△FBM∽△ABH,即可推出高FM關(guān)于x的表達式,最后根據(jù)三角形的面積公式,即可表示出△BEF的面積;
③通過計算等腰梯形的面積,即可推出其一半的值,然后結(jié)合結(jié)論(2)即可推出結(jié)論;
④首先提出假設(shè)成立,然后,分情況進行討論,①若當BE+BF=8,△BEF的面積=,根據(jù)題意列出方程,求出x;②若當BE+BF=16,△BEF的面積=時,根據(jù)題意列出方程,求出x,最后即可確定假設(shè)不成立,即可推出結(jié)論.
試題解析:①過點A作AH⊥BC于點H
∵等腰梯形ABCD中,AB=DC=5,AD=4,BC=10,
∴BH=(BCAD)÷2=3,
∴,即梯形的高為4;
②過點F作FM⊥BC于點M
∵等腰梯形ABCD中,AB=DC=5,AD=4,BC=10,
∴等腰梯形ABCD的周長=24,
∵EF平分等腰梯形ABCD的周長,
∴BF+BE=12,
∵BE=x,
∴BF=12x,
∵FM∥AH,
∴△FBM∽△ABH,
∴BF:AB=FM:AH,
∴,
∴,
∴△BEF的面積;
③假設(shè)線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時平分.
∵等腰梯形ABCD中,AH=4,AD=4,BC=10,
∴等腰梯形ABCD面積的一半=4(4+10)÷2÷2=14,
∵當線段EF將等腰梯形ABCD的周長平分時,△BEF的面積關(guān)于x的函數(shù)表達式為,
∴,
∴整理方程得:,
∵,
解方程得:,
∵當時,,
∴,不符合題意,舍去,
∴當BE=7時,線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時平分;
④假設(shè)存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時分成1:2的兩部分.
∵等腰梯形ABCD的周長=24,等腰梯形ABCD的面積=28,
則①若當BE+BF=8,△BEF的面積=,
∵BE=x,
∴BF=8x,
∵FM∥AH,
∴△FBM∽△ABH,
∴BF:AB=FM:AH,
∴,
∴,
∴△BEF的面積,
當時,
∴,
整理方程得:,
∵
∴故方程無實數(shù)解,
∴此種情況不存在;
②若當BE+BF=16,△BEF的面積=時,
∴,
∴△BEF的面積,
∴,
整理方程得:,,
解方程得:,(舍去),
∴當時,線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時分成1:2的兩部分.
考點:1.等腰梯形的性質(zhì);2.勾股定理;3.一元二次方程的應(yīng)用;4.解直角三角形
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:中考必備’04全國中考試題集錦·數(shù)學(xué) 題型:044
如圖,在等腰梯形AB∥⊥CD中,BC∥AD,BC=8,AD=20,AB=DC=10,點P從A點出發(fā)沿AD邊向點D移動,點Q自A點出發(fā)沿A→B→C的路線移動,且PQ∥DC,若AP=x,梯形位于線段PQ右側(cè)部分的面積為S.
(1)分別求出當點Q位于AB、BC上時,S與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍;
(2)當線段PQ將梯形AB∥⊥CD分成面積相等的兩部分時,x的值是多少?
(3)當(2)的條件下,設(shè)線段PQ與梯形AB∥⊥CD的中位線EF交于O點,那么OE與OF的長度有什么關(guān)系?借助備用圖說明理由;并進一步探究:對任何一個梯形,當一直線l經(jīng)過梯形中位線的中點并滿足什么條件時,一定能平分梯形的面積?(只要求說出條件,不需要證明)
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