Question

如圖，在直角梯形ABCD中．AB∥CD，AB=12cm，CD=6cm，DA=3cm，∠D=∠A=90°，點(diǎn)P沿AB邊從點(diǎn)A開始向點(diǎn)B以2cm/s的速度移動(dòng)；點(diǎn)Q沿DA邊從點(diǎn)D開始向點(diǎn)A以1cm/s的速度移動(dòng)，如果P、Q同時(shí)出發(fā)，用t表示移動(dòng)的時(shí)間（單位：秒），并且0≤t≤3．
（1）證明不論t取何值，四邊形QAPC的面積是一個(gè)定值，并且求出這個(gè)定值；
（2）請(qǐng)問是否存在這樣的t，使得∠PCQ=90°？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）請(qǐng)你探究△PBC能否構(gòu)成直角三角形？若能，求出t的值；若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）連接AC，即可求出四邊形QAPC的面積，與t無關(guān)．
（2）假設(shè)能為直角三角形，利用勾股定理分別求出CQ、PC、PQ的長(zhǎng)度，然后在Rt△PCQ中再利用勾股定理列式解關(guān)于t的一元二次方程，如果所求解滿足0≤t≤3t，則能，否則不可以構(gòu)成直角三角形．
（3）分∠PCB與∠CPB為直角時(shí)兩種情況分別求出T的值．

解答：解：（1）連接AC，
則S_{四邊形QAPC}=S_△APC+S_△ACQ，
=

1

2

AP•AD+

1

2

AQ•CD，
=

1

2

[3×2t+6×（3-t）]，
=

1

2

×18，
=9，
故不論t取何值，四邊形QAPC的面積是一個(gè)定值，這個(gè)定值為9．

（2）過C作CE⊥AB，垂足為E，設(shè)t秒時(shí)，∠PCQ=90°，
∵CD=6cm，DA=3cm，
∴CQ²=36+t²，CP²=9+（6-2t）²，PQ²=（3-t）²+（2t）²，AE=6，AD=3，
∵∠PCQ=90°，
∴CQ²+CP²=PQ²，
即36+t²+9+（6-2t）²=（3-t）²+（2t）²，
解得t=4．
∵0≤t≤3，
∴不可構(gòu)成直角三角形．

（3）能．
①過C作CE⊥AB于E，則AE=CD=6cm，當(dāng)p運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為

6

2

=3s，此時(shí)Q正好運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)．
△PBC中∠CPB=90°．

②當(dāng)∠PCB=90°時(shí)，即P到E點(diǎn)時(shí)，
過D作DG∥BC，則四邊形DGBC是平行四邊形，BG=DC=6cm，
故AG=AB-GB=12-6=6cm，DG=BC=

DA2+AG2

=

32+62

=3

5

cm，
過A作AF∥CE，
則AF=CE，CF=AE=2t，DF=DC-2t=6-2t，
AF=CE=

AD2+DF2

=

32+(6-2t)2

．
在直角三角形BCE中，BE²=CE²+BC²，
即（12-2t）²=（6-2t）²+3²+（3

5

）²，
解得：t=

9

4

（符合題意）．
故當(dāng)t=

9

4

s，或t=3s時(shí)△PBC能否構(gòu)成直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直角梯形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理以及勾股定理的逆定理等知識(shí)，要熟記這些定理．