Question

【題目】如圖①,在平面直角坐標(biāo)系中,ニ次函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸交于A,B,C三點,其中點A的坐標(biāo)為(-3,0),點B的坐標(biāo)為(4,0),連接AC,BC.動點P從點A出發(fā),在線段AC上以每秒1個單位長度的速度向點C作勻速運動;同時,動點Q從點0出發(fā),在線段OB上以每秒1個單位長度的速度向點B作勻速運動,當(dāng)其中一點到達(dá)終點時,另一點隨之停止運動,設(shè)運動時間為t秒.連接PQ

（1）填空:b=_, c=_;

（2）在點P,Q運動過程中,△APQ可能是直角三角形嗎?請說明理由;

（3）如圖2,點N的坐標(biāo)為,線段PQ的中點為H,連接NH,當(dāng)點Q關(guān)于直線NH的對稱點Q`恰好落在線段BC上時,請直接寫出點Q`的坐標(biāo)

Answer 1

【答案】(1) ；(2) △APQ不可能是直角三角形,證明見解析；(3) Q′(，).

【解析】

(1)設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+3)(x-4),將a=代入可得到拋物線的解析式,從而可確定出b、c的值

(2)連結(jié)QC.先求得點C的坐標(biāo),則PC=5-t,依據(jù)勾股定理可求得AC=5,CQ=t+16,接下來,依據(jù)CQ-CP=AQ-AP列方程求解即可

(3)連結(jié):OP,取OP的中點R,連結(jié)RH,NR,延長NR交線段BC與點Q.首先依據(jù)三角形的中位線定理得到EH= QO=t,RH∥OQ,NR=AP=t,則RH=NR,接下來,依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證明NH是∠QNQ`的平分線,然后求得直線NR和BC的解析式,最后求得直線NR和BC的交點坐標(biāo)即可

(1)設(shè)拋物線的解析式為y=a(+3)(x-4).將a=-代入得:

∴

(2)在點P、Q運動過程中,△APQ不可能是直角三角形。

理由如下:連結(jié)QC

∵在點P、Q運動過程中,∠PAQ、∠PQA始終為銳角,

∴當(dāng)△APQ是直角三角形時,則∠APQ=90°

將x=0代入拋物線的解析式得：y=4

∴C(0,4)

∵AP=OQ=t

∴PC=5-t

∵在Rt△AOC中,依據(jù)勾股定理得:AC=5,在Rt△COQ中,依據(jù)勾股定理可知: CQ=t+16，

在Rt△CPQ中依據(jù)勾股定理可知：

PQ=CQ-CP,在Rt△APQ中,AQ-AP=PQ

∴CQ-CP=AQ-AP,即

(3+t)-t=t+16-(5-t),解得:t=4.5

∵由題意可知:0≤t≤4

∴t=4.5不和題意,即△APQ不可能是直角三角形。

(3)如圖所示:連結(jié):OP,取OP的中點R,連結(jié)RH,NR,延長NR交線段BC與點Q`

∵點H為PQ的中點,點R為OP的中點

∴EH= QO=t, RH∥OQ

∵A(-3,0),N(-,0)

∴點N為OA的中點

又∵R為OP的中點,

NR=AP=t

∴RH=NR,

∴∠RNH=∠RHN

∵RH∥OQ,

∴∠RHN=∠HNO

∴∠RNH=∠HNO,即NH是∠QNQ`的平分線.

設(shè)直線AC的解析式為y=mx+n,把點A(3,0)、C(0,4)

代入得:

解得: ，n=4

∴直線AC的表示為：y=

同理可求得直線BC的表達(dá)式為y=-x+4

設(shè)直線NR的函數(shù)表達(dá)式為y=將點N的坐標(biāo)代入得

,解得:S=2

直線NR的表述表達(dá)式為y=

將直線NR和直線BC的表達(dá)式聯(lián)立得

解得:x=, y= ,

∴Q`(,)