Question

如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與x軸、y軸分別交于A（3，0），B（0，）兩點(diǎn)．
（1）求直線AB的解析式；
（2）在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使得以P、O、B為頂點(diǎn)的三角形與△OBA相似？若存在，請(qǐng)畫(huà)出所有符合條件的點(diǎn)P，并求其中一個(gè)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出直線斜率k和截距b，直線解析式就可以寫(xiě)出了．
（2）△OBA中，已經(jīng)有一直角，再找一銳角相等就可以了．
解答：解：（1）設(shè)函數(shù)解析式為y=kx+b，
根據(jù)題意，
解得，
∴．

（2）過(guò)O作OP⊥AB垂足為P，得△OBA∽△PBO，
過(guò)B作BP″⊥y軸，使BP″=OA，連接OP″，得△OBA∽△BOP″，
過(guò)B作BP′⊥OP″，垂足為P′，得△OBA∽△P′OB，
由題可得OA=3，OB=，AB=2，∠OAB=30°．
①若△BOP∽△OBA，則∠BPO=∠BAO=30°，BP=OB=3，
∴P₁（3，）；
②若△BPO∽△OAB，則∠BOP=∠BAO=30°，OP=OB=1，
∴P₂（1，）；
③當(dāng)∠OPB=90°時(shí)，
過(guò)點(diǎn)P作OP⊥BC（如圖），此時(shí)△PBO∽△OAB，∠BOP=∠BAO=30°，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥OA，
在Rt△PBO中，BP=OB=，OP=BP=，
∵在Rt△PMO中，∠OPM=60°，
∴OM=OP=，PM=OM=，
∴P₃（，）；

④若△POB∽△OAB，則∠OBP=∠BAO=30°，∠P₄OM=90°-（90°-30°）=30°，
∴P₄M=OM=，
∴P₄（，）．
當(dāng)∠OPB=90°時(shí)，點(diǎn)P在x軸上，不符合要求．
故符合條件的點(diǎn)有四個(gè)：P₁（3，），P₂（1，），P₃（，），P₄（，）．
點(diǎn)評(píng)：待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式和直角三角形相似的判定方法是本題考查的兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)．