Question

如圖，在平面直角坐標系中，頂點為（4，1）的拋物線交y軸于點A，交x軸于B，C兩點（點B在點C的左側），已知C點坐標為（6，0）．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）聯(lián)結 AB，過點B作線段AB的垂線交拋物線于點D，如果以點C為圓心的圓與拋物線的對稱軸l相切，先補全圖形，再判斷直線BD與⊙C的位置關系并加以證明；
（3）已知點P是拋物線上的一個動點，且位于A，C兩點之間．問：當點P運動到什么位置時，△PAC的面積最大？求出△PAC的最大面積．

Answer 1

（1）解：∵拋物線的頂點為（4，1），
∴設拋物線解析式為y=a（x-4）²+1，
∵拋物線經(jīng)過點C（6，0），
∴a（6-4）²+1=0，
解得a=-，
∴y=-（x-4）²+1=-x²+2x-3，
所以，拋物線的解析式為y=-x²+2x-3；

（2）補全圖形如圖所示；直線BD與⊙C相離．
證明：令y=0，則-x²+2x-3=0，
整理得，x²-8x+12=0，
解得x₁=2，x₂=6，
∴B點坐標（2，0），
又∵拋物線交y軸于點A，
∴A點坐標為（0，-3），
∴AB==，
設⊙C與對稱軸l相切于點F，則⊙C的半徑CF=2，
作CE⊥BD于點E，則∠BEC=∠AOB=90°．
∵∠ABD=90°，
∴∠CBE=90°-∠ABO，
又∵∠BAO=90°-∠ABO，
∴∠BAO=∠CBE，
∴△AOB∽△BEC，
∴=，
即=，
解得CE=＞2，
∴直線BD與⊙C相離；

（3）解：如圖，過點P作平行于y軸的直線交AC于點Q，
∵A（0，-3），C（6，0），
∴直線AC解析式為y=x-3，
設P點坐標為（m，-m²+2m-3），
則Q點的坐標為（m，m-3），
∴PQ=-m²+2m-3-（m-3）=-m²+m，
∵S_△PAC=S_△PAQ+S_△PCQ，
=×（-m²+m）×6，
=-m²+m，
=-（m-3）²+，
∴當m=3時，△PAC的面積最大為，
∵當m=3時，-m²+2m-3=-×3²+2×3-3=，
∴P點坐標為（3，），
綜上所述，P點的位置是（3，），△PAC的最大面積是．
分析：（1）設拋物線頂點式解析式為y=a（x-4）²+1，然后把點C的坐標代入解析式求出a的值，即可得解；
（2）令y=0求出點B的坐標，令x=0求出點A的坐標，然后求出OA、OB，再利用勾股定理列式求出AB，設⊙C與對稱軸l相切于F，根據(jù)圓的半徑求出CF，過點C作CE⊥BD于E，求出△AOB和△BEC相似，利用相似三角形對應邊成比例列式求出CE，然后根據(jù)直線與圓的位置關系求解即可；
（3）根據(jù)拋物線解析式設點P的坐標為（x，-x²+2x-3），過點P作PQ∥y軸交直線AC于Q，求出直線AC的解析式并表示出點Q的坐標，然后求出PQ的長，再根據(jù)三角形的面積公式列式整理，然后利用二次函數(shù)的最值問題確定出點P的橫坐標，再求出縱坐標，即可得解．
點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，相似三角形的判定與性質，二次函數(shù)的最值問題，（1）用頂點形式設出拋物線解析式更簡便，（2）關鍵在于求出兩個三角形相似，（3）把△APC分成兩個三角形表示出面積是解題的關鍵．