Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，長方形ABCD的頂點(diǎn)C（3，

3

），頂點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上，頂點(diǎn)B在x軸上．點(diǎn)E是CD上一動(dòng)點(diǎn)，將梯形OBCE沿OE翻折至OB′C′E，OB′交CD于H，過點(diǎn)O作OE的垂線交CD所在直線于點(diǎn)G，設(shè)E（t，

3

）．

（1）直接寫出OB′的長；
（2）①當(dāng)HB′=1時(shí)，求出對應(yīng)H點(diǎn)的坐標(biāo)；②求證：HG=HO．
（3）如圖2，作直線B′C′交直線OG于F．在運(yùn)動(dòng)變化過程中，點(diǎn)F的橫坐標(biāo)會隨著t的變化而變化嗎？如果變化，請用含t的式子表示；如果不變，求出點(diǎn)F的橫坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：綜合題

分析：（1）由C的坐標(biāo)確定出OB的長，利用折疊性質(zhì)即可確定出OB′的長；
（2）①當(dāng)HB′=1時(shí)，得到OH=2，設(shè)CD與y軸的交點(diǎn)為M，分兩種情況考慮：（i）當(dāng)H在y軸左側(cè)時(shí)，利用勾股定理求出MH的長，確定出H坐標(biāo)；（ii）當(dāng)H在y軸右側(cè)時(shí)，同理得出MH，確定出此時(shí)H坐標(biāo)；
②由折疊的性質(zhì)得到一對角相等，再由CD與AB平行得到一對內(nèi)錯(cuò)角相等，等量代換及等角對等邊得到EH=HO，由OE垂直于OG，得到兩對角互余，利用等角的余角相等得到∠GOH=∠HGO，利用等角對等邊得到HG=HO，等量代換得到HG=HE；
（3）在運(yùn)動(dòng)變化過程中，點(diǎn)F的橫坐標(biāo)不變，理由為：過F作FN⊥AB于N，由CD與AB平行得到一對內(nèi)錯(cuò)角相等，由∠GOH=∠HGO，等量代換得到一對角相等，再由一對直角相等，OF=OF，利用AAS得到△FON≌△FB′O，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到ON=OB′=3，即F橫坐標(biāo)不變?yōu)?．

解答：解：（1）∵C（3，

3

），
∴OB=3，
由折疊可得OB′=OB=3；
（2）①當(dāng)HB′=1時(shí)，OH=2，
設(shè)CD與y軸的交點(diǎn)為M，

分兩種情況考慮：
（i）當(dāng)H在y軸左側(cè)時(shí)，利用勾股定理得：MH=1，
此時(shí)H（-1，

3

）；
（ii）當(dāng)H在y軸右側(cè)時(shí)，同理MH=1，
此時(shí)H（1，

3

），
綜上，H（-1，

3

）或（1，

3

）；
②由折疊可得∠BOE=∠HOE，
∵CD∥AB，
∴∠BOE=∠HEO，
∴∠HEO=∠HOE，
∴HE=HO，
∵∠EOG=90°，
∴∠GOH+∠HOE=90°，∠OGE+∠HEO=90°，
∵∠HOE=∠HEO，
∴∠GOH=∠HGO，
∴HG=HO，
∵HE=HO，
∴HG=HE；
（3）在運(yùn)動(dòng)變化過程中，點(diǎn)F的橫坐標(biāo)不變，理由為：
過F作FN⊥AB于N，

∵CD∥AB，
∴∠HGO=∠GOA，
∵∠GOH=∠HGO，
∴∠GOA=∠GOH，
在△FON和△FB′O中，

∠GOA=∠GOH ∠FNO=∠FB′O OF=OF

，
∴△FON≌△FB′O（AAS），
∴ON=OB′=3，
則點(diǎn)F的橫坐標(biāo)保持不變，它的橫坐標(biāo)為-3．

點(diǎn)評：此題屬于四邊形綜合題，涉及的知識有：全等三角形的判定與性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，以及勾股定理，熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．