Question

設(shè)a₁=3²-1²，a₂=5²-3²，…，a_n=（2n+1）²-（2n-1）²（n為大于0的自然數(shù)）．
（1）探究a_n是否為8的倍數(shù)，并用文字語言表述你所獲得的結(jié)論；
（2）若一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根是一個(gè)自然數(shù)，則稱這個(gè)數(shù)是“完全平方數(shù)”．試找出a₁，a₂，…，a_n，…這一列數(shù)中從小到大排列的前4個(gè)完全平方數(shù)，并指出當(dāng)n滿足什么條件時(shí)，a_n為完全平方數(shù)（不必說明理由）．

Answer 1

（1）∵a_n=（2n+1）²-（2n-1）²=4n²+4n+1-4n²+4n-1=8n，（3分）
又n為非零的自然數(shù)，
∴a_n是8的倍數(shù)．（4分）
這個(gè)結(jié)論用文字語言表述為：兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差是8的倍數(shù)（5分）
說明：第一步用完全平方公式展開各（1），正確化簡（1分）．

（2）這一列數(shù)中從小到大排列的前4個(gè)完全平方數(shù)為16，64，144，256．（7分）
n為一個(gè)完全平方數(shù)的2倍時(shí)，a_n為完全平方數(shù)（8分）
說明：找完全平方數(shù)時(shí)，錯(cuò)一個(gè)扣（1），錯(cuò)2個(gè)及以上扣（2分）．