Question

方程組

6x-y-z=20 x2+y2+z2=1979

的所有正整數(shù)解是

 

．

Answer 1

分析：首先根據(jù)題目已知條件

6x-y-z=20 x2+y2+z2=1979

與x、y、z為正整數(shù)，首先確定x的取值，再就x的各種情況進行討論．得到最終結果．

解答：解：∵

6x-y-z=20 x2+y2+z2=1979

?

y+z=6x-20 y2+z2=1979-x2

∵（y-z）²≥0?2yz≤y²+z²?2yz+y²+z²=2（y²+z²）?（y+z）²≤2（y²+z²）
∴（y+z）²=（6x-20）²≤2（y²+z²）=2（1979-x²）
于是（6x-20）²≤2（1979-x²）≤2×1978＜63²

注解到不等式（y+z）²≤2（y²+z²）有（y+z）²=（6x-20）²≤2（y²+z²）=2（1979-x²），
于是（6x-20）²≤2（1979-x²）≤2×1978＜63²，即-63＜6x-20＜63
又∵y+z=6x-20是正整數(shù)
∴0＜6x-20＜63，即

20

4

＜x＜

83

6

，從而4≤x≤13．
再由y+z為偶數(shù)，從而y²+z²為偶數(shù)，x²為奇數(shù)，進而x為奇數(shù)．
∴x=5，7，9，11，13
①當x=5時，

y+z=10 y2+z2=1854

，顯然y、z正整數(shù)解不存在．
②當x=7時，

y+z=22 y2+z2=1830

，顯然y、z正整數(shù)解不存在．

③當x=9時，

y+z=34 y2+z2=1898

，顯然y、z正整數(shù)解不存在．

④當x=11時，解得

x1=11 y1=3 z1=43

或

x2=11 y2=43 z2=3

；
⑤當x=13時，解得

x3=13 y3=21 z3=37

或

x4=13 y4=37 z4=21

．
故答案為

x1=11 y1=3 z1=43

x2=11 y2=43 z2=3

x3=13 y3=21 z3=37

x4=13 y4=37 z4=21

點評：本題考查高次方程，解題本題的突破口是首先確定x的取值范圍．