Question

給定整數(shù)n≥3，證明：存在n個(gè)互不相同的正整數(shù)組成的集合S，使得對(duì)S的任意兩個(gè)不同的非空子集A，B，數(shù)

x∈A x

|A|

與

x∈B x

|B|

是互素的合數(shù)．（這里

x∈X

x與|X|分別表示有限數(shù)集X的所有元素之和及元素個(gè)數(shù)．）

Answer 1

分析：先證明正整數(shù)的n元集合S₁={（m+1）!|m=1，2，n}具有下述性質(zhì)：對(duì)S₁的任意兩個(gè)不同的非空子集A，B，有f（A）≠f（B），再證明對(duì)任何正整數(shù)x，正整數(shù)的n元集合S₂={K!n!xα+1|α∈S₁}具有下述性質(zhì)：對(duì)S₂的任意兩個(gè)不同的非空子集A，B，數(shù)f（A）與f（B）是兩個(gè)互素的整數(shù)．最后由同于方程組即可得出結(jié)論．

解答：證明：我們用f（X）表示有限數(shù)集X中元素的算術(shù)平均數(shù)．
第一步，我們證明，正整數(shù)的n元集合S₁={（m+1）!|m=1，2，n}具有下述性質(zhì)：對(duì)S₁的任意兩個(gè)不同的非空子集A，B，有f（A）≠f（B）．
證明：對(duì)任意A⊆S₁，A≠∅，設(shè)正整數(shù)k滿足k!＜f（A）≤（k+1）!，①
并設(shè)l是使lf（A）≥（k+1）!的最小正整數(shù)．我們首先證明必有|A|=l．
事實(shí)上，設(shè)（k'+1）!是A中最大的數(shù)，則由A⊆S₁，易知A中至多有k'個(gè)元素，即|A|≤k'，故f（A）≥

(k′+1)!

k′

＞k'!．又由f（A）的定義知f（A）≤（k'+1）!，故由①知k=k'．特別地有|A|≤k．
此外，顯然|A|f（A）≥（k'+1）!=（k+1）!，故由l的定義可知l≤|A|．于是我們有l(wèi)≤|A|≤k．
若l=k，則|A|=l；否則有l(wèi)≤k-1，則(l+1)f(A)=(1+

1

l

)lf(A)≥(1+

1

k-1

)(k+1)!＞（k+1）!+k!+…+2!．
由于（k+1）!是A中最大元，故上式表明|A|＜l+1．結(jié)合|A|≥l即知|A|=l．
現(xiàn)在，若有S₁的兩個(gè)不同的非空子集A，B，使得f（A）=f（B），則由上述證明知|A|=|B|=l，故|A|f（A）=|B|f（B），但這等式兩邊分別是A，B的元素和，利用（m+1）!＞m!+…+2!易知必須A=B，矛盾．
第二步，設(shè)K是一個(gè)固定的正整數(shù)，K＞n!

max

A1?S1

f（A₁），我們證明，對(duì)任何正整數(shù)x，正整數(shù)的n元集合S₂={K!n!xα+1|α∈S₁}具有下述性質(zhì)：對(duì)S₂的任意兩個(gè)不同的非空子集A，B，數(shù)f（A）與f（B）是兩個(gè)互素的整數(shù)．
事實(shí)上，由S₂的定義易知，有S₁的兩個(gè)子集A₁，B₁，滿足|A₁|=|A|，|B₁|=|B|，且f（A）=K!n!xf（A₁）+1，f（B）=K!n!xf（B₁）+1．②
顯然n!f（A₁）及n!f（B₁）都是整數(shù)，故由上式知f（A）與f（B）都是正整數(shù)．
現(xiàn)在設(shè)正整數(shù)d是f（A）與f（B）的一個(gè)公約數(shù)，則n!f（A）f（B₁）-n!f（B）f（A₁）是d的倍數(shù)，故由②可知d|n!f（A₁）-n!f（B₁），但由K的選取及S₁的構(gòu)作可知，|n!f（A₁）-n!f（B₁）|是小于K的非零整數(shù)，故它是K!的約數(shù)，從而d|K!．再結(jié)合d|f（A）及②可知d=1，故f（A）與f（B）互素．
第三步，我們證明，可選擇正整數(shù)x，使得S₂中的數(shù)都是合數(shù)．由于素?cái)?shù)有無(wú)窮多個(gè)，故可選擇n個(gè)互不相同且均大于K的素?cái)?shù)p₁，p₂，p_n．將S₁中元素記為α₁，α₂，α_n，則（p_i，K!n!α_i）=1（1≤i≤n），且（p_i²，p_j²）=1（對(duì)1≤i＜j≤n），故由中國(guó)剩余定理可知，同余方程組K!n!xα_i≡-1（bmodp_i²），i=1，2，n，
有正整數(shù)解．
任取這樣一個(gè)解x，則相應(yīng)的集合S₂中每一項(xiàng)顯然都是合數(shù)．結(jié)合第二步的結(jié)果，這一n元集合滿足問(wèn)題的全部要求．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是質(zhì)數(shù)與合數(shù)的定義、絕對(duì)值的性質(zhì)、求和公式，涉及面較廣，難度較大．