【題目】如圖,在四邊形ABCD中,對角線AC、BD交于點E,點E為BD的中點,∠BAC+∠BDC=180°,AB=CD=5,tan∠ACB=,則AD=______ .
【答案】2
【解析】解:過B作BM⊥CA,交CA的延長線于M,過D作DN⊥CA,垂足為N,∴∠BME=∠DNC=90°.∵點E為BD的中點,∴BE=DE.∵∠BEM=∠DEN,∴△BME≌△DNE,∴BM=DN.∵AB=CD,∴Rt△ABM≌Rt△DCN,∴∠BAM=∠DCN.∵∠BAC+∠BDC=180°,∠BAC+∠BAM=180°,∴∠BDC=∠BAM,∴∠BDC=∠DCN,∴DE=CE,∴BE=CE=DE,∴∠DBC=∠ECB,∴∠DBC+∠BDC=∠ECB+∠DCN,∴△BCD是直角三角形.∵tan∠ACB=,∴tan∠DBC=.∵DC=5,∴BC=10,在△BMC中,設BM=x,則CM=2x,由勾股定理得:x2+(2x)2=102,x=±,∴BM=DN=,CM=,由勾股定理得:AM= ==,∴CN=AM=,∴AN=CM﹣AM﹣CN=﹣﹣=,在△ADN中,AD====.故答案為:.
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【題目】規(guī)定:滿足(1)各邊互不相等且均為整數;(2)最短邊上的高與最長邊上的高的比值為整數k。這樣的三角形稱為比高三角形,其中k叫做比高系數。根據規(guī)定解答下列問題:
(1)周長為13的比高三角形的比高系數k= ;
(2)比高三角形△ABC三邊與它的比高系數k之間滿足BC-AC=AC-AB=k2,求△ABC的周長的最小值。
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【題目】(1)如圖,DE∥BC,∠1 = ∠3 ,請說明 FG ∥ DC ;
(2)若把題設中 DE ∥ BC 與結論中 FG ∥ DC 對調,命題還成立嗎?試證明。
(3)若把題設中∠1=∠3 與結論中 FG ∥ DC 對調呢?試證明。
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【題目】打折前,買6件A商品和3件B商品用了108元,買5件A商品和1件B商品用了84元,打折后買5件A商品和5件B商品用了80元。問打折后買5件A商品和5件B商品比不打折少花多少元?
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【題目】如圖,AB∥CD,BE平分∠ABD,DE平分∠BDC。
(1)求證:BE⊥DE;
(2)H是直線CD上一動點(不與D重合),HI平分∠HBD交CD于點I。請你畫出圖形,并猜想∠EBI與∠BHD的數量關系,且說明理由。
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【題目】在△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所對的邊分別為a,b,c.
(1)已知c=8,∠A=60°,求∠B,a,b;
(2)已知a=3,∠A=45°,求∠B,b,c.
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【題目】(1)計算:(-8xy2)(-x)3+(-2x4)4+2x10(-2x2)3
(2)先化簡,再求值:(y+2)(y2-2y+1)-y(y2+1),其中y=
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【題目】定義:我們把三角形被一邊中線分成的兩個三角形叫做“友好三角形”.
性質:如果兩個三角形是“友好三角形”,那么這兩個三角形的面積相等.
理解:如圖①,在△ABC中,CD是AB邊上的中線,那么△ACD和△BCD是“友好三角形”,并且S△ACD=S△BCD.
應用:如圖②,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,點E在AD上,點F在BC上,AE=BF,AF與BE交于點O.
(1)求證:△AOB和△AOE是“友好三角形”;
(2)連接OD,若△AOE和△DOE是“友好三角形”,求四邊形CDOF的面積.
探究:在△ABC中,∠A=30°,AB=4,點D在線段AB上,連接CD,△ACD和△BCD是“友好三角形”,將△ACD沿CD所在直線翻折,得到△A′CD,若△A′CD與△ABC重合部分的面積等于△ABC面積的,請直接寫出△ABC的面積.
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