Question

（2013•蒼梧縣二模）如圖1，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)為C（1，4），交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)D，其中點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）

（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖2，設(shè)E是拋物線上在第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作x軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作FG垂直于x軸于點(diǎn)G，再過(guò)點(diǎn)E作EH垂直于x軸于點(diǎn)H，得到矩形EFGH．則在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)矩形EFGH為正方形時(shí)，求出該正方形的邊長(zhǎng)；
（3）如圖3，在拋物線上是否存在一點(diǎn)T，過(guò)點(diǎn)T作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MN∥BD，交線段AD于點(diǎn)N，連接MD，使△DNM∽△BMD？若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-1）²+4，然后將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式即可求得此拋物線的解析式；
（2）設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為（n，-n²+2n+3），拋物線對(duì)稱(chēng)軸為x=1，根據(jù)2|n-1|=EF，列方程求解；
（3）首先設(shè)M的坐標(biāo)為（a，0），求得BD與DM的長(zhǎng)，由平行線分線段成比例定理，求得MN的長(zhǎng)，然后由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，即可得DM²=BD•MN，則可得到關(guān)于a的一元二次方程，解方程即可求得答案．

解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-1）²+4，
∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）．
∴4a+4=0，
∴a=-1，
∴此拋物線的解析式為：y=-（x-1）²+4=-x²+2x+3；

（2）設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為（n，-n²+2n+3），拋物線對(duì)稱(chēng)軸為x=1，
由2（n-1）=EF，得2（n-1）=-（-n²+2n+3）或2（n-1）=-n²+2n+3，
解得n=2±

5

或n=±

5

∵n＞0，
∴n=2+

10

或n=

5

，
邊長(zhǎng)EF=2（n-1）=2+2

10

或2

5

-2；

（3）存在．
過(guò)點(diǎn)T作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MN∥BD，交線段AD于點(diǎn)N，連接MD，
∵BD=

32+32

=3

2

，設(shè)M（c，0），
∵M(jìn)N∥BD，
∴

MN

BD

=

AM

AB

，
即

MN

3 2

=

1+c

4

，
∴MN=

3 2

4

（1+c），DM=

32+c2

，
要使△DNM∽△BMD，
需

DM

BD

=

MN

DM

，即DM²=BD•MN，
可得：9+c²=3

2

×

3 2

4

（1+c），
解得：c=

3

2

或c=3（舍去）．
當(dāng)x=

3

2

時(shí)，y=-（

3

2

-1）²+4=

15

4

．
故存在，點(diǎn)T的坐標(biāo)為（

3

2

，

15

4

）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及平行線分線段成比例定理等知識(shí)．解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確地用點(diǎn)的坐標(biāo)表示線段的長(zhǎng)，根據(jù)圖形的特點(diǎn)，列方程求解，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．