等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)P，AP=3，BP=4，CP=5，求∠APB的度數(shù).

 

【答案】

150°

【解析】

試題分析：如圖，以AP為邊作等邊△APD，連結(jié)BD.即可證得△ADB≌△ADC，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及勾股定理的逆定理證得∠BPD=90°，從而得到結(jié)果.

如圖，以AP為邊作等邊△APD，連結(jié)BD.

則∠1=60°－∠BAP=∠2，

在△ADB和△APC中,

AD=AP.∠1=∠2，AB=AC

∴△ADB≌△ADC(SAS)

∴BD=PC=5，又PD=AP=3，BP=4

∴BP2+PD2=42+32=25=BD2

∴∠BPD=90°

∴∠APB=∠APD+∠BPD=150°.

考點(diǎn)：本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的逆定理

點(diǎn)評：此解法利用旋轉(zhuǎn)△APC到△ADB的位置，成功地把條件PA=3，PB=4，PC=5，集中到△BPD中，挖出了隱含的“直角三角形”這一條件.

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)等邊三角形ABC內(nèi)接于⊙0，連接OA，OB，OC，延長AO分別交BC于點(diǎn)P，
BC
于點(diǎn)D，連接BD，CD．
（1）判斷四邊形BDCO是哪一種特殊四邊形，并說明理由；
（2）若等邊三角形ABC的邊長6
3
cm，求⊙0的半徑；
（3）在劣弧
BD
上有一點(diǎn)Q，請求出弓形BQD的面積．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

旋轉(zhuǎn)變換是世界運(yùn)動變化的簡捷形式之一，也是數(shù)學(xué)問題中一種重要的思想方法．解與圖形的旋轉(zhuǎn)相關(guān)的問題常用到全等三角形的知識，而利用旋轉(zhuǎn)過程中的不變量、不變性是解決問題的關(guān)鍵．請你選擇其中一題進(jìn)行解答．
（1）如圖1，已知P是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，PB=2，PC=1，∠BPC=150°，求PA的長；
（2）如圖2，已知O是等邊△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，∠AOB、∠BOC、∠AOC的角度之比為6：5精英家教網(wǎng)：4．求在以O(shè)A、OB、OC為邊的三角形中，此三邊所對的角度之比．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

旋轉(zhuǎn)變換是世界運(yùn)動變化的簡捷形式之一，也是數(shù)學(xué)問題中一種重要的思想方法．解與圖形的旋轉(zhuǎn)相關(guān)的問題常用到全等三角形的知識，而利用旋轉(zhuǎn)過程中的不變量、不變性是解決問題的關(guān)鍵．請你選擇其中一題進(jìn)行解答．
（1）如圖1，已知P是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，PB=2，PC=1，∠BPC=150°，求PA的長；
（2）如圖2，已知O是等邊△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，∠AOB、∠BOC、∠AOC的角度之比為6：5：4．求在以O(shè)A、OB、OC為邊的三角形中，此三邊所對的角度之比．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

等邊三角形ABC內(nèi)接于⊙0，連接OA，OB，OC，延長AO分別交BC于點(diǎn)P，數(shù)學(xué)公式于點(diǎn)D，連接BD，CD．
（1）判斷四邊形BDCO是哪一種特殊四邊形，并說明理由；
（2）若等邊三角形ABC的邊長數(shù)學(xué)公式，求⊙0的半徑；
（3）在劣弧數(shù)學(xué)公式上有一點(diǎn)Q，請求出弓形BQD的面積．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：2010年北京市朝陽區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷（解析版） 題型：解答題

（2010•朝陽區(qū)一模）請閱讀下列材料：
問題：如圖1，在等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，且PA=2，PB=，PC=1、求∠BPC度數(shù)的大小和等邊三角形ABC的邊長．?
李明同學(xué)的思路是：將△BPC繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)60°，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形（如圖2），連接PP′，可得△P′PC是等邊三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可證），所以∠AP′B=150°，而∠BPC=∠AP′B=150°，進(jìn)而求出等邊△ABC的邊長為，問題得到解決．
請你參考李明同學(xué)的思路，探究并解決下列問題：如圖3，在正方形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)P，且PA=，BP=，PC=1．求∠BPC度數(shù)的大小和正方形ABCD的邊長．?

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