Question

等邊三角形ABC內(nèi)接于⊙0，連接OA，OB，OC，延長AO分別交BC于點P，

BC

于點D，連接BD，CD．
（1）判斷四邊形BDCO是哪一種特殊四邊形，并說明理由；
（2）若等邊三角形ABC的邊長6

3

cm，求⊙0的半徑；
（3）在劣弧

BD

上有一點Q，請求出弓形BQD的面積．

Answer 1

分析：（1）可先由四邊形各角的大小求出各邊之間的關(guān)系，然后即可判斷四邊形BDCO為何種特殊四邊形；
（2）先由菱形性質(zhì)求出BP的長，再由等邊三角形性質(zhì)及求出∠POB的角度，然后即可由三角形邊角關(guān)系求出OB的長，即⊙0的半徑；
（3）弓形BQD的面積可由求扇形OBD與三角形OBD之差間接求得．

解答：解：（1）四邊形BDCO是菱形理由如下：
∵AB=BC=AC，
∴∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，
∴∠BOD=180°-∠AOB=60°，
∴∠COD=180°-∠AOC=60°；
又∵OB=OD，
∴△OBD為正三角形，
∴OB=OD=BD
同理可得OC=CD，
∴OB=OC=BO=CD即四邊形BDCO是菱形；（3分）

（2）由菱形性質(zhì)可知，BP=

1

2

BC=

1

2

×6

3

=3

3

；
∵△ABC為等邊三角形，∠PBO=30°，OP=3，BO=6，
∴⊙O的半徑OB為6．（3分）

（3）S弓形BQD=S扇形-S△BOD=

60π×62

360

-

3

4

×62=6π-9

3

．（2分）

點評：本題考查了正三角形與圓，正三角形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)與判定及面積求法，具有較強(qiáng)的綜合性．