Question

【題目】如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點(diǎn)D，E分別在AB，BC上，∠EAD=∠EDA，點(diǎn)F為DE的延長(zhǎng)線與AC的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)．

（1）求證：DE=EF；

（2）判斷BD和CF的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（3）若AB=3，AE=，求BD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2證明見解析；（3）BD=1.

【解析】

（1）先根據(jù)等角對(duì)等邊得出EA=ED，再在Rt△ADF中根據(jù)直角三角形的兩銳角互余和等角的余角相等得出∠EAC=∠F，得出EA=EF，等量代換即可解決問(wèn)題；

（2）結(jié)論：BD=CF．如圖2中，在BE上取一點(diǎn)M，使得ME=CE，連接DM．想辦法證明DM=CF，DM=BD即可；

（3）如圖3中，過(guò)點(diǎn)E作EN⊥AD交AD于點(diǎn)N．設(shè)BD=x，則DN=，DE=AE=，由∠B=45°，EN⊥BN．推出EN=BN=x+=，在Rt△DEN中，根據(jù)DN2+NE2=DE2，構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題．

（1）證明：如圖1中，

，

，，

，

，

，，

．

（2）解：結(jié)論：．

理由：如圖2中，在上取一點(diǎn)，使得，連接．

．，．

，

，，

，

，

，

，

，

．

（3）如圖3中，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)．

，，

，

設(shè)，則，，

，．

，

在中，，

解得或（舍棄）

．