Question

“西氣東輸”惠及千家萬(wàn)戶(hù)，使許多的農(nóng)村家庭也告別了以植物秸稈為主要原料的時(shí)代，使用上了天然氣，如圖所示，天然氣的主要管道在x軸所在的位置，現(xiàn)擬在該主要管道上新建一氣站為圖中的A，B兩村莊的農(nóng)戶(hù)供氣，請(qǐng)你幫助確定該供氣站建在何處時(shí)，到兩村所鋪設(shè)的管道最短，最少需要管道多少千米？

Answer 1

考點(diǎn)：軸對(duì)稱(chēng)-最短路線問(wèn)題,坐標(biāo)與圖形性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：寫(xiě)出點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求得直線B′A的解析式，再求得B′A與x的交點(diǎn)的坐標(biāo)，即題意要求的點(diǎn)．然后根據(jù)勾股定理即可求得AB′的長(zhǎng)，即到兩村所鋪設(shè)的管道最短距離．

解答： 解：點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（3，-2），
設(shè)直線B′A的解析式為y=kx+b，
得到

k+b=4 3k+b=-2

，
解得k=-3，b=7，
∴y=-3x+7，
當(dāng)y=0時(shí)，x=

7

3

，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

7

3

，0）．
因?yàn)镻B=PB′，所以PA+PB=PA+PB′=AB′，
根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，AB′就是PA+PB的最小值，
AB′=

(1-3)2+(4+2)2

=2

10

（千米）
故該供氣站應(yīng)建在（

7

3

，0）這個(gè)位置，到兩村所鋪設(shè)的管道最少需要2

10

千米．

點(diǎn)評(píng)：本題利用了軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)和用待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式的方法求解．兩點(diǎn)之間線段最短是解題的關(guān)鍵．