Question

【題目】如圖，直線y=ax+1與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，與雙曲線y= （x＞0）相交于點P，PC⊥x軸于點C，且PC=2，點A的坐標為（﹣2，0）．

（1）求雙曲線的解析式；
（2）若點Q為雙曲線上點P右側的一點，且QH⊥x軸于H，當以點Q、C、H為頂點的三角形與△AOB相似時，求點Q的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：（1）把A（﹣2，0）代入y=ax+1中，求得a= ，

∴y= x+1，

由PC=2，把y=2代入y= x+1中，得x=2，即P（2，2），

把P代入y= 得：k=4，

則雙曲線解析式為y= ；

（2）

解：

設Q（a，b），

∵Q（a，b）在y= 上，

∴b= ，

當△QCH∽△BAO時，可得 ，即 ，

∴a﹣2=2b，即a﹣2= ，

解得：a=4或a=﹣2（舍去），

∴Q（4，1）；

當△QCH∽△ABO時，可得 ，即 = ，

整理得：2a﹣4= ，

解得：a=1+ 或a=1﹣ （舍），

∴Q（1+ ，2 ﹣2）．

綜上，Q（4，1）或Q（1+ ，2 ﹣2）．

【解析】（1）把A坐標代入直線解析式求出a的值，確定出直線解析式，把y=2代入直線解析式求出x的值，確定出P坐標，代入反比例解析式求出k的值，即可確定出雙曲線解析式；（2）設Q（a，b），代入反比例解析式得到b= ，分兩種情況考慮：當△QCH∽△BAO時；當△QCH∽△ABO時，由相似得比例求出a的值，進而確定出b的值，即可得出Q坐標．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用一次函數(shù)的性質和一次函數(shù)的圖象和性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一般地，一次函數(shù)y=kx+b有下列性質：（1）當k>0時，y隨x的增大而增大（2）當k<0時，y隨x的增大而減��；一次函數(shù)是直線，圖像經(jīng)過仨象限；正比例函數(shù)更簡單,經(jīng)過原點一直線；兩個系數(shù)k與b,作用之大莫小看，k是斜率定夾角,b與Y軸來相見,k為正來右上斜,x增減y增減；k為負來左下展,變化規(guī)律正相反；k的絕對值越大,線離橫軸就越遠．