Question

請閱讀下列材料：
問題：將一副直角三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）如圖1所示的方式擺放．其中∠ACB=90°，CA=CB，∠FDE=90°，O是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D與點(diǎn)O重合，DF⊥AC于點(diǎn)M，DE⊥BC于點(diǎn)N．探究線段OM與ON的數(shù)量關(guān)系．
小聰同學(xué)的思路是：連接OC，構(gòu)造全等三角形，經(jīng)過推理使問題得到解決．

請你參考小聰同學(xué)的思路，探究并解決下列問題：
（1）直接寫出上面問題中線段OM與ON的數(shù)量關(guān)系；
（2）將這幅直角三角板如圖2所示的方式擺放．使點(diǎn)D落在BA的延長線上，DE∥AC，F(xiàn)D的延長線與CA的延長線交于點(diǎn)M，BC的延長線與DE交于點(diǎn)N．點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)．連接ON、OM、MN．請你判斷線段OM與ON的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）連接OC，證△CON和△CMO全等即可；
（2）連接OC，證△CNM≌△DMN，推出CN=DM=AM，證△NCO≌△MAO即可．

解答：解：（1）OM=ON；

（2）OM=ON，OM⊥ON，
證明：連接OC．
∵AC=BC，O是AB中點(diǎn)，∠ACB=90°，
∴OA=OB，CO⊥AB，∠ACO=∠BCO=45°，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∴∠CAB=∠ACO，∠B=∠BCO，
∴OC=OA=OB，
∴∠MAO=∠NCO=135°，
∵DE∥MC，∠FDE=90°，
∴∠DMC=∠FDE=90°，∠DNM=∠NMC．
∵∠CAB=∠DAM=45°，
∴∠MDA=∠DAM=45°．
∴DM=AM，
∵DE∥MC，
∴∠CMN=∠DNM，
∵在△DMN和△CNM中

∠NDM=∠NCM ∠DNM=∠CMN MN=MN

，
∴△DMN≌△CNM（AAS），
∴CN=DM=AM，
∴DM=NC．
即∠CNO=∠ODM=45°，CN=DM，∠NCO=∠MAO=135°，
∵OC=OA，
∴△AMO≌△CNO（SAS），
∴OM=ON，∠MOA=∠NOC，
∵∠NOC+∠NOA=90°，
∴∠MOA+∠NOA=90°．
∴OM⊥ON．

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，直角三角形斜邊上中線性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)等知識點(diǎn)的綜合運(yùn)用，題目綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．