【題目】已知如圖1:△ABC中,AB=AC,∠B、∠C的平分線相交于點O,過點O作EF∥BC交AB、AC于E、F.
(1)圖中有幾個等腰三角形?請說明EF與BE、CF間有怎樣的關(guān)系.
(2)若AB≠AC,其他條件不變,如圖2,圖中還有等腰三角形嗎?如果有,請分別指出它們.另第(1)問中EF與BE、CF間的關(guān)系還存在嗎?
(3)若△ABC中,∠B的平分線與三角形外角∠ACD的平分線CO交于O,過O點作OE∥BC交AB于E,交AC于F.如圖3,這時圖中還有哪幾個等腰三角形?EF與BE、CF間的關(guān)系如何?為什么?

【答案】
(1)解:有5個等腰三角形,EF與BE、CF間有怎樣的關(guān)系是:EF=BE+CF=2BE=2CF.理由如下:

∵EF∥BC,

∴∠EOB=∠OBC,∠FOC=∠OCB,

又∠B、∠C的平分線交于O點,

∴∠EBO=∠OBC,∠FCO=∠OCB,

∴∠EOB=∠OBE,∠FCO=∠FOC,

∴OE=BE,OF=CF,

∴EF=OE+OF=BE+CF.

又AB=AC,

∴∠ABC=∠ACB,

∴∠EOB=∠OBE=∠FCO=∠FOC,

∴EF=BE+CF=2BE=2CF;


(2)有2個等腰三角形分別是:等腰△OBE和等腰△OCF;

第一問中的EF與BE,CF的關(guān)系是:EF=BE+CF.


(3)有,還是有2個等腰三角形,△EBO,△OCF,EF=BE﹣CF,理由如下:

∵EO∥BC,

∴∠EOB=∠OBC,∠EOC=∠OCG(G是BC延長線上的一點)

又∵OB,OC分別是∠ABC與∠ACG的角平分線

∴∠EBO=∠OBC,∠ACO=∠OCD,

∴∠EOB=∠EBO,

∴BE=OE,

∠FCO=∠FOC,

∴CF=FO,

又∵EO=EF+FO,

∴EF=BE﹣CF.


【解析】(1)根據(jù)EF∥BC,∠B、∠C的平分線交于O點,可得∠EOB=∠OBC,∠FOC=∠OCB,∠EOB=∠OBE,∠FCO=∠FOC,再加上題目中給出的AB=AC,共5個等腰三角形;根據(jù)等腰三角形的性質(zhì),即可得出EF與BE、CF間有怎樣的關(guān)系.(2)根據(jù)EF∥BC 和∠B、∠C的平分線交于O點,還可以證明出△OBE和△OCF是等腰三角形;利用幾個等腰三角形的性質(zhì)即可得出EF與BE,CF的關(guān)系.(3)EO∥BC和OB,OC分別是∠ABC與∠ACL的角平分線,還可以證明出△BEO和△CFO是等腰三角形.
【考點精析】掌握平行線的性質(zhì)是解答本題的根本,需要知道兩直線平行,同位角相等;兩直線平行,內(nèi)錯角相等;兩直線平行,同旁內(nèi)角互補.

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探究一:如圖1,在△ABC中,已知O是∠ABC與∠ACB的平分線BO和CO的交點,通過分析發(fā)現(xiàn)∠BOC=90°+ ∠A,理由如下:
∵BO和CO分別是∠ABC與∠ACB的平分線,
∴∠1= ∠ABC,∠2= ∠ACB;
∴∠1+∠2= (∠ABC+∠ACB)= (180°﹣∠A)=90°﹣ ∠A,
∴∠BOC=180°﹣(∠1+∠2)=180°﹣(90°﹣ ∠A)=90°+ ∠A.

(1)探究二:如圖2中,已知O是∠ABC與外角∠ACD的平分線BO和CO的交點,試分析∠BOC與∠A有怎樣的關(guān)系?并說明理由.
(2)探究二:如圖3中,已知O是外角∠DBC與外角∠ECB的平分線BO和CO的交點,試分析∠BOC與∠A有怎樣的關(guān)系?

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