Question

如圖①，小慧同學(xué)把一個(gè)正三角形紙片（即△OAB）放在直線l₁上．OA邊與直線l₁重合，然后將三角形紙片繞著頂點(diǎn)A按順吋針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)120°，此時(shí)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)O₁處，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)B₁處；小慧又將三角形紙片AO₁B₁，繞點(diǎn)B₁按順吋針?lè)较蛐�轉(zhuǎn) 120°，此時(shí)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)A₁處，點(diǎn)O₁運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)O₂處（即頂點(diǎn)O經(jīng)過(guò)上述兩次旋轉(zhuǎn)到達(dá)O₂處）．
小慧還發(fā)現(xiàn)：三角形紙片在上述兩次旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中．頂點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)所形成的圖形是兩段圓弧，即

OO1

和

O1O2

，頂點(diǎn)O所經(jīng)過(guò)的路程是這兩段圓弧的長(zhǎng)度之和，并且這兩段圓弧與直線l₁圍成的圖形面積等于扇形A00₁的面積、△AO₁B₁的面積和扇形B₁O₁O₂的面積之和．
小慧進(jìn)行類比研究：如圖②，她把邊長(zhǎng)為1的正方形紙片0ABC放在直線l₂上，0A邊與直線l₂重合，然后將正方形紙片繞著頂點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)90°，此時(shí)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)O₁處（即點(diǎn)B處），點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)C₁處，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)B₂處，小慧又將正方形紙片 AO₁C₁B₁繞頂點(diǎn)B₁按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)90°，…．按上述方法經(jīng)過(guò)若干次旋轉(zhuǎn)后，她提出了如下問(wèn)題：
問(wèn)題①：若正方形紙片0ABC按上述方法經(jīng)過(guò)3次旋轉(zhuǎn)，求頂點(diǎn)0經(jīng)過(guò)的路程，并求頂點(diǎn)O在此運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所形成的圖形與直線l₂圍成圖形的面積；若正方形紙片OABC按上述方法經(jīng)過(guò)5次旋轉(zhuǎn)．求頂點(diǎn)O經(jīng)過(guò)的路程；
問(wèn)題②：正方形紙片OABC按上述方法經(jīng)過(guò)多少次旋轉(zhuǎn)，頂點(diǎn)0經(jīng)過(guò)的路程是

41+20 2

2

π？

Answer 1

分析：①根據(jù)正方形旋轉(zhuǎn)3次和5次的路徑，利用弧長(zhǎng)計(jì)算公式以及扇形面積公式求出即可，
②再利用正方形紙片OABC經(jīng)過(guò)4次旋轉(zhuǎn)得出旋轉(zhuǎn)路徑，進(jìn)而得出

41+20 2

2

π=20（1+

2

2

）π+

π

2

，即可得出旋轉(zhuǎn)次數(shù)．

解答：解：①如圖所示，正方形紙片OABC經(jīng)過(guò)3次旋轉(zhuǎn)，頂點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)所形成的圖形是三段圓弧，
∴頂點(diǎn)O在此過(guò)程中經(jīng)過(guò)的路程為：

90π×1

180

×2+

90π× 2

180

=（1+

2

2

）π，
頂點(diǎn)O在此過(guò)程中經(jīng)過(guò)的圖形與直線l₂圍成的圖形面積為：

90π×12

360

×2+

90π× 2

360

+2×

1

2

×1=1+π．
正方形紙片OABC經(jīng)過(guò)5次旋轉(zhuǎn)，頂點(diǎn)O在此過(guò)程中經(jīng)過(guò)的路程為：

90π×1

180

×3+

90π× 2

180

=（

3

2

+

2

2

）π，

②正方形紙片OABC經(jīng)過(guò)3次旋轉(zhuǎn)，頂點(diǎn)O在此過(guò)程中經(jīng)過(guò)的路程為：
∵

90π×1

180

×2+

90π× 2

180

=（1+

2

2

）π，根據(jù)第四次正方形旋轉(zhuǎn)時(shí)O點(diǎn)不動(dòng)，也就是此時(shí)也是正方形紙片OABC經(jīng)過(guò)4次旋轉(zhuǎn)的路程；
∴

41+20 2

2

π=20（1+

2

2

）π+

π

2

，
∴正方形紙片OABC經(jīng)過(guò)了：20×4+1=81次旋轉(zhuǎn)．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)以及扇形面積公式和弧長(zhǎng)計(jì)算公式，分別得出旋轉(zhuǎn)3，4，5次旋轉(zhuǎn)的路徑是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．