Question

如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D為BC的中點(diǎn)．
（1）求證：DA=DB=DC；
（2）若E、F分別時線段AB、AC上的點(diǎn)，且AF=BE，試判斷△DEF的形狀，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：（1）根據(jù)中線定義和自己三角形斜邊上的中線性質(zhì)求出即可．
（2）根據(jù)直角三角形性質(zhì)和等腰三角形性質(zhì)求出∠FAD=∠B=∠C=∠EAD=45°，AD⊥BC，證△EBD≌△FAD，推出DE=DF，∠BED=∠ADF，求出∠EDF=∠ADB=90°，即可得出答案．

解答：（1）證明：∵在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D為BC的中點(diǎn)．
∴DB=DC

1

2

BC，DA=

1

2

BC，
∴DA=DB=DC；

（2）解：△DEF是等腰直角三角形，
理由是：∵在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D為BC的中點(diǎn)，
∴∠FAD=∠B=∠C=∠EAD=45°，AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
在△EBD和△FAD中

BD=AD ∠B=∠FAD BE=AF

∴△EBD≌△FAD，
∴DE=DF，∠BED=∠ADF，
∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠EDB=∠ADB=90°，
即△EDF是等腰三角形三角形．

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定的應(yīng)用，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，②全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．