【題目】如圖,點O是等邊△ABC內(nèi)一點,∠AOC=100°,∠AOB=α,以OB為邊作等邊△BOD,連接CD.
(1)求證:△ABO≌△CBD;
(2)當(dāng)α=150°時,試判斷△COD的形狀,并說明理由;
(3)探究:當(dāng)α為多少度時△COD是等腰三角形?
【答案】(1)詳見解析;(2)直角三角形,理由詳見解析;(3)當(dāng)α為100°、130°、160°時,△COD是等腰三角形.
【解析】
(1)由于 △ABC和△OBD都是等邊三角形,可得BA=BC,BO=BD,由角推出∠ABO=∠CBD,即可證明△ABO≌△CBD.
(2)由△ABO≌△CBD,可得∠BDC=150°,由于∠BDO=60°,即可推出∠CDO的度數(shù)為90°,即可證明為直角三角形.
(3)分三類討論:①要使CO=CD, ②要使OC=OD,③要使OD=CD.
(1)解:(1)∵△ABC和△OBD都是等邊三角形,
∴BA=BC,BO=BD,
∵∠ABC=∠OBD=60°
∴∠ABO=∠CBD,
∴△ABO≌△CBD(SAS).
(2)直角三角形;
理由:∵△ABO≌△CBD
∴∠BDC=∠AOB=150°
又∵∠ODB=∠OBD=60°
∴∠CDO=150°-60°=90°
∴△COD是直角三角形.
(3)①要使CO=CD,需∠COD=∠CDO,
∴200°-α = α-60°,
∴α=130°;
②要使OC=OD,需∠OCD=∠CDO,
∴2(α-60°)=180°-(200°-α),
∴α=100°;
③要使OD=CD,需∠OCD=∠COD,
∴2(200°-α)=180°-(α -60°),
∴α=160°.
所以當(dāng)α為100°、130°、160°時,△COD是等腰三角形.
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【題目】我們知道:在小學(xué)已經(jīng)學(xué)過“正方形的四條邊都相等,正方形的四個內(nèi)角都是直角”,試?yán)蒙鲜鲋R,并結(jié)合已學(xué)過的知識解答下列問題:
如圖1,在正方形ABCD中,G是射線DB上的一個動點(點G不與點D重合),以CG為邊向下作正方形CGEF.
(1)當(dāng)點G在線段BD上時,求證:;
(2)連接BF,試探索:BF,BG與AB的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
(3)若AB=a(a是常數(shù)),如圖2,過點F作FT∥BC,交射線DB于點T,問在點G的運動過程中,GT的長度是否會隨著G點的移動而變化?若不變,請求出GT的長度;若變化,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,CD切⊙O于點C,與BA的延長線交于點D,OE⊥AB交⊙O于點E,連接CA、CE、CB,CE交AB于點G,過點A作AF⊥CE于點F,延長AF交BC于點P.
(Ⅰ)求∠CPA的度數(shù);
(Ⅱ)連接OF,若AC=,∠D=30°,求線段OF的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是半圓O的直徑,點D是半圓O上一點,點C是 的中點,CE⊥AB于點E,過點D的切線交EC的延長線于點G,連接AD,分別交CE、CB于點P、Q,連接AC.
(1)求證:GP=GD;
(2)求證:P是線段AQ的中點;
(3)連接CD,若CD=2,BC=4,求⊙O的半徑和CE的長.
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=BC=AC=20 cm.動點P,Q分別從A,B兩點同時出發(fā),沿三角形的邊勻速運動.已知點P,點Q的速度都是2 cm/s,當(dāng)點P第一次到達B點時,P,Q兩點同時停止運動.設(shè)點P的運動時間為t(s).
(1)∠A=______度;
(2)當(dāng)0<t<10,且△APQ為直角三角形時,求t的值;
(3)當(dāng)△APQ為等邊三角形時,直接寫出t的值.
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【題目】李剛和常明兩人在數(shù)學(xué)活動課上進行折紙創(chuàng)編活動.李剛拿起一張準(zhǔn)備好的長方形紙片對常明說:“我現(xiàn)在折疊紙片(圖①),使點D落在AB邊的點F處,得折痕AE,再折疊,使點C落在AE邊的點G處,此時折痕恰好經(jīng)過點B,如果AD=,那么AB長是多少?”常明說;“簡單,我會. AB應(yīng)該是_____”.
常明回答完,又對李剛說:“你看我的創(chuàng)編(圖②),與你一樣折疊,可是第二次折疊時,折痕不經(jīng)過點B,而是經(jīng)過了AB邊上的M點,如果AD=,測得EC=3BM,那么AB長是多少?”李剛思考了一會,有點為難,聰明的你,你能幫忙解答嗎?AB=_____.
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【題目】已知:△ABC在直角坐標(biāo)平面內(nèi),三個頂點的坐標(biāo)分別為A(0,3)、B(3,4)、C(2,2)(正方形網(wǎng)格中每個小正方形的邊長是一個單位長度).
(1)畫出△ABC向下平移4個單位長度得到的△A1B1C1,點C1的坐標(biāo)是 ;
(2)以點B為位似中心,在網(wǎng)格內(nèi)畫出△A2B2C2,使△A2B2C2與△ABC位似,且位似比為2:1;
(3)四邊形AA2C2C的面積是 平方單位.
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【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+2ax+3a2+3(其中x是自變量),當(dāng)x≥2時,y隨x的增大而增大,且2≤x≤1時,y的最大值為9,則a的值為
A. 1或2 B. 或
C. D. 1
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,、、.
(1)請畫出關(guān)于軸對稱的(其中、、分別是、、的對應(yīng)點)并直接寫出點的坐標(biāo)為 .
(2)若直線經(jīng)過點且與軸平行,則點關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo)為 .
(3)在軸上存在一點,使最大,則點的坐標(biāo)為 .
(4)第一象限有一點,在軸上找一點使最短,畫出最短路徑,保留作圖跡.
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