Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，A、B分別是x軸正半軸，y軸正半軸上的動點(diǎn)，以AB為直角邊作等腰直角三角形ABC，其中A為直角頂點(diǎn)，P為斜邊BC的中點(diǎn)，則下列說法中正確的是

 

．
①若A、B選擇適當(dāng)位置，則可能有OP⊥BC；
②若A（a，0），B（0，b），則C點(diǎn)的坐標(biāo)必是（a+b，a）；
③無論AB怎樣運(yùn)動，都有∠POA=45°；
④無論AB怎樣運(yùn)動，都有OP≤AB．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可得AP與BC的關(guān)系，根據(jù)垂線的性質(zhì)，可得答案；
②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得AD、DC的長，根據(jù)線段的和差，可得OD的長，可得C點(diǎn)坐標(biāo)；
③根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)，可得P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)P點(diǎn)的坐標(biāo)，可得答案；
④根據(jù)勾股定理，可得AB、OP的長，根據(jù)整式的加減，可得完全平方公式，根據(jù)平方都是非負(fù)數(shù)，可得答案．

解答：解：①由直角等腰三角形ABC，P是BC的中點(diǎn)，得AP⊥BC，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，OP不能垂直BC，故①錯誤；
②如圖：作CD⊥x軸于點(diǎn)D，由余角的性質(zhì)，得∠OBA=∠DAC，
在Rt△OBA和Rt△DAC中，

∠OBA=∠DAC ∠AOB=∠CDA BA=AC

，
Rt△OBA≌Rt△DAC（AAS），
∴AD=OB=b，DC=OA=a．
由線段的和差，得OD=OA+AD=a+b，即C點(diǎn)坐標(biāo)是（a+b，a），故②正確；
③由B（0，b），C（a+b，a），P是BC的中點(diǎn)，得P（

a+b

2

，

a+b

2

），OP平分∠AOB，即∠POA=45°，故③正確；
④由勾股定理，得AB=

a2+b2

，OP=

( a+b 2 )2+( a+b 2 )2

，
平方，得AB²=a²+b²，OP²=

a2+2ab+b2

2

，
AB²-OP²=

2a2+2b2-a2-2ab-b2

2

=

(a-b)2

2

≥0，即AB≥OP，故④正確．
故答案為：②③④．

點(diǎn)評：本題考查了一次函數(shù)綜合題，①利用了等腰直角三角形的性質(zhì)；②利用了全等三角形的判定與性質(zhì)；③利用了線段中點(diǎn)的性質(zhì)；④利用了被開方數(shù)越大算術(shù)平方根越大．