Question

如圖，在Rt△OAB中，OA=8，AB=10，點C在OA上，AC=2，⊙P的圓心P在線段BC上，且⊙P與邊AB，AO都相切．若反比例函數y=

k

x

（k≠0）的圖象經過圓心P，則k=

 

．

Answer 1

考點：反比例函數綜合題

專題：

分析：先根據勾股定理求出OB的長，設⊙P與邊AB，AO分別相切于點F、E，連接PE、PF、AP，由條件可求出OC、AB，從而得到∠PCE=45°，進而有PE=CE，然后用面積法可求出PE的長，進而可以求出點P的坐標，把點P的坐標代入反比例函數的解析式就可求出k的值．

解答：解：∵在Rt△OAB中，OA=8，AB=10，
∴OB=

102-82

=6．
設⊙P與邊AB，AO分別相切于點F、E，連接PE、PF、AP，如圖所示，則PF⊥AB，PE⊥OA，PE=PF．
∵∠AOB=90°，OA=8，OB=6，AC=2，
∴OC=6=OB，AB=10．
∴∠OBC=∠OCB=45°．
∴∠EPC=45°=∠ECP．
∴PE=CE．
∵S_△ABC=S_△ABP+S_△ACP，
∴

1

2

AC•OB=

1

2

AB•PF+

1

2

AC•PE．
∴

1

2

×2×6=

1

2

×10×PE+

1

2

×2×PE．
解得：PE=1．
∴CE=PE=1．
∴OE=OC-CE=6-1=5．
∴點P的坐標為（5，1）．
∵反比例函數y=

k

x

（k≠0）的圖象經過點P（5，1），
∴k=5×1=5．
故答案為：5．

點評：本題考查的是反比例函數綜合題，涉及到切線的性質、等腰三角形的判定、用待定系數法求反比例函數的解析式、勾股定理等知識，在求PE長度時巧妙地運用了面積法，而這種方法是求垂線段長度常用的一種方法，應熟練掌握．