Question

（6分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點D，過點D的切線，交BC于點E．

（1）求證：EB=EC；

（2）若以點O、D、E、C為頂點的四邊形是正方形，試判斷△ABC的形狀，并說明理由．

Answer 1

【解析】

試題分析：（1）連接OD，根據圓周角定理得出∠ACB=90°，再由BC是⊙O的切線得出∠BCA=90°，由DE是⊙O的切線，得出ED=EC，∠ODE=90°，故可得出∠EDB=∠EBD，由此可得出結論．

（2）當以點O、D、E、C為頂點的四邊形是正方形時，則△DEB是等腰直角三角形，據此即可判斷．

試題解析：（1）證明：連接OD，

∵AC是直徑，∠ACB=90°，

∴BC是⊙O的切線，∠BCA=90°．

又∵DE是⊙O的切線，

∴ED=EC，∠ODE=90°，

∴∠ODA+∠EDB=90°，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

又∵∠OAD+∠DBE=90°，

∴∠EDB=∠EBD，

∴ED=EB，

∴EB=EC．

（2）【解析】
當以點O、D、E、C為頂點的四邊形是正方形時，則∠DEB=90°，

又∵DE=BE，∴△DEB是等腰直角三角形，則∠B=45°，

∴△ABC是等腰直角三角形．

考點：切線的性質；等腰三角形的判定；正方形的性質．