【題目】如圖,已知直線l與⊙O相離,OA⊥l于點(diǎn)A,交⊙O于點(diǎn)P,點(diǎn)B是⊙O上一點(diǎn),連接BP并延長(zhǎng),交直線l于點(diǎn)C,使得AB=AC.
(1)求證:AB是⊙O的切線;
(2)PC=2 ,OA=4. ①求⊙O的半徑;
②求線段PB的長(zhǎng).
【答案】
(1)證明:連結(jié)OB,如圖,
∵AB=AC,
∴∠1=∠2,
∵OA⊥AC,
∴∠2+∠3=90°,
∵OB=OP,
∴∠4=∠5,
而∠3=∠4,
∴∠5+∠2=90°,
∴∠5+∠1=90°,即∠OBA=90°,
∴OB⊥AB,
∴AB是⊙O的切線;
(2)解:①作OH⊥PB于H,如圖,則BH=PH,
設(shè)⊙O的半徑為r,則PA=OA﹣OP=4﹣r,
在Rt△PAC中,AC2=PC2﹣PA2=(2 )2﹣(4﹣r)2,
在Rt△OAB中,AB2=OA2﹣OB2=42﹣r2,
而AB=AC,
∴(2 )2﹣(4﹣r)2=42﹣r2,解得r=1,
即⊙O的半徑為1;
②∵⊙O的半徑為1
∴PA=3,
∵∠3=∠4,
∴Rt△APC∽R(shí)t△HPO,
∴ = ,即 = ,
∴PH= ,
∴PB=2PH= .
【解析】(1)連結(jié)OB,如圖,由等腰三角形的性質(zhì)得∠1=∠2,∠4=∠5,由OA⊥AC得∠2+∠3=90°,加上∠3=∠4,易得∠5+∠1=90°,即∠OBA=90°,于是根據(jù)切線的判定定理可得AB是⊙O的切線;(2)作OH⊥PB于H,如圖,根據(jù)垂徑定理得到BH=PH,設(shè)⊙O的半徑為r,則PA=OA﹣OP=4﹣r,根據(jù)勾股定理得到AC,AB,然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】體育委員把全班45名同學(xué)的體育鍛煉時(shí)間,并繪制了如圖所示的折線統(tǒng)計(jì)圖,則全班45名同學(xué)一周的體育鍛煉總時(shí)間的眾數(shù)和中位數(shù)分別是( )
A.9,9
B.9,10
C.18,9
D.18,18
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某廠去年的總產(chǎn)值比總支出多500萬(wàn)元,而今年計(jì)劃的總產(chǎn)值比總支出多950萬(wàn)元.已知今年計(jì)劃總產(chǎn)值比去年增加15%,而今年計(jì)劃總支出比去年減少10%.求今年計(jì)劃的總產(chǎn)值和總支出各為多少.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知兩個(gè)分別含有30°,45°角的一副直角三角板.
(1)如圖1疊放在一起
若OC恰好平分∠AOB,則∠AOD= 度;
若∠AOC=40°,則∠BOD= 度;
(2)如圖2疊放在一起,∠AOD=4∠BOC,試計(jì)算∠AOC的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知在△ABC中,AD、BD分別平分∠CAG、∠EBA,AD∥BC,BD交AC于F,連接CD,
(1)求證:AB=AC.
(2)當(dāng)∠EBA的大小滿足什么條件時(shí),以A,B,F(xiàn)為頂點(diǎn)三角形為等腰三角形?
(3)猜想∠BDC與∠DAC之間的數(shù)量關(guān)系式,并說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示,直線l過(guò)點(diǎn)M(3,0)且平行于y軸.
(1)作出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△A1B1C1,并寫出△A1B1C1各頂點(diǎn)的坐標(biāo).
(2)如果點(diǎn)P的坐標(biāo)是(﹣a,0),其中a>0,點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)是P1,點(diǎn)P1關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)是P2,求P1P2的長(zhǎng).(用含a的代數(shù)式表示)
(3)通過(guò)計(jì)算加以判斷,PP2的長(zhǎng)會(huì)不會(huì)隨點(diǎn)P位置的變化而變化.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,﹣6),且與反比例函數(shù)y=﹣ 的圖象交于點(diǎn)B(a,4)
(1)求一次函數(shù)的解析式;
(2)將直線AB向上平移10個(gè)單位后得到直線l:y1=k1x+b1(k1≠0),l與反比例函數(shù)y2= 的圖象相交,求使y1<y2成立的x的取值范圍.
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