Question

已知：二次函數(shù)y=ax²+2ax的圖象與x軸負半軸的交點為A，將點A繞坐標(biāo)原點O順時針旋轉(zhuǎn)120°后得點B．
（1）若B點在已知的二次函數(shù)的圖象上，求a的值；
（2）在（1）的條件下，設(shè)二次函數(shù)圖象的頂點為C，判斷直線OC與△AOB的外接圓位置關(guān)系．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）由二次函數(shù)y=ax²+2ax的圖象與x軸負半軸的交點為A，易求得點A的坐標(biāo)，又由將點A繞坐標(biāo)原點O順時針旋轉(zhuǎn)120°后得點B，可得∠BOD=30°，OB=OA=2，然后過點B作BD⊥y軸于點D，即可求得點B的坐標(biāo)，再代入二次函數(shù)的解析式，即可求得a的值；
（2）由△AOB的外接圓的圓心是△AOB的三邊的垂直平分線的交點，可設(shè)OB的中點為F，過點F作EF⊥OB交AO的垂直平分線于點E，連接OE，確定點E是△AOB外接圓的圓心；然后求得點E的坐標(biāo)，可證得OE⊥OC，即可判定直線OC與△AOB的外接圓相切．

解答：解：（1）∵y=ax²+2ax=ax（x+2），
∴當(dāng)y=0時，ax（x+2）=0，
解得：x=0或x=-2，
∵二次函數(shù)y=ax²+2ax的圖象與x軸負半軸的交點為A，
∴點A（-2，0），
即OA=2，
∵將點A繞坐標(biāo)原點O順時針旋轉(zhuǎn)120°后得點B．
∴∠AOB=120°，OB=OA=2，
∴∠BOD=30°，
過點B作BD⊥y軸于點D，
∴BD=

1

2

OB=1，OD=

3

2

OB=

3

，
∴點B的坐標(biāo)為（1，

3

），
∵B點在已知的二次函數(shù)的圖象上，
∴a+2a=

3

，
解得：a=

3

3

；

（2）直線OC與△AOB的外接圓相切．
理由：設(shè)OB的中點為F，過點F作EF⊥OB交AO的垂直平分線于點E，連接OE，
即點E是△AOB外接圓的圓心；
∵AO的垂直平分線即是拋物線的對稱軸，
∴點E的橫坐標(biāo)為-1，
∵直線OB的解析式為：y=

3

x，
∴設(shè)直線EF的解析式為：y=-

3

3

x+b，
∵點F（1，

3

），
∴-

3

3

+b=

3

，
解得：b=

4

3

3

，
∴直線EF的解析式為：y=-

3

3

x+

4

3

3

，
當(dāng)x=-1時，y=

3

，
∴點E的坐標(biāo)為（-1，

3

），
∴tan∠EOG=

3

，
∴∠EOG=60°，
∵y=

3

3

x²+

2 3

3

x=

3

3

（x+1）²-

3

3

，
∴點C（-1，-

3

3

），
∴tan∠COG=

3

3

，
∴∠COG=30°，
∴∠COE=∠COG+∠EOG=90°，
即EO⊥OC，
∴直線OC與△AOB的外接圓相切．

點評：此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、三角形的外接圓以及切線的判定．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．