Question

如圖所示，點P是等邊△ABC內一點，且PA：PB：PC=3：4：5，將△BPC繞點B逆時針旋轉，使BC與AB重合，P點落在P′點，連接PP′．
（1）畫圖形并判斷△APP′的形狀；
（2）求∠APB的度數(shù)．

Answer 1

考點：旋轉的性質,等邊三角形的性質,勾股定理的逆定理

專題：

分析：（1）利用旋轉的性質得出△BPP′是等邊三角形，進而得出PP′=BP，即可得出PA：P′P：P′A=3：4：5，則問題得證；
（2）利用（1）中結論得出∠APP′=90°，∠P′PB=60°，可得出答案．

解答：解：（1）如圖所示：
∵將△BPC繞點B逆時針旋轉，使BC與AB重合，P點落在P′點，
∴△BPC繞點B逆時針旋轉了60°，BP=BP′，PC=AP′，
∴△BPP′是等邊三角形，
∴PP′=BP，
∵PA：PB：PC=3：4：5，
∴PA：P′P：P′A=3：4：5，
∴△APP′是直角三角形；

（2）∵△APP′是直角三角形，且AP′是斜邊，
△BPP′是等邊三角形，
∴∠APP′=90°，∠P′PB=60°，
∴∠APB的度數(shù)為：∠APP′+∠P′PB=90°+60°=150°．

點評：此題主要考查了旋轉的性質以及等邊三角形判定和性質以及直角三角形的判定與性質，根據(jù)已知得出PP′=BP是解題關鍵．