Question

為了參加市科技節(jié)展覽，同學(xué)們制造了一個(gè)截面為拋物線(xiàn)形的隧道模型，用了三種正方形的鋼筋支架．在畫(huà)設(shè)計(jì)圖時(shí)，如果在直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)的函數(shù)解析式為y=-x²+c，正方形ABCD的邊長(zhǎng)和正方形EFGH的邊長(zhǎng)之比為5：1，求：
（1）拋物線(xiàn)解析式中常數(shù)c的值；
（2）正方形MNPQ的邊長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）觀察各點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，巧妙設(shè)點(diǎn)，減少未知量，由待定系數(shù)求出函數(shù)表達(dá)式，求出c的值；
（2）由題已知條件正方形ABCD的邊長(zhǎng)和正方形EFGH的邊長(zhǎng)之比為5：1，求出正方形MNPQ的邊長(zhǎng)．

解答：解：（1）因各點(diǎn)坐標(biāo)都關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，可以設(shè)特殊點(diǎn)坐標(biāo)．由拋物線(xiàn)的函數(shù)解析式為y=-x²+c，
∵AB=BC，
設(shè)AB=a，則FE=

a

5

，
又∵拋物線(xiàn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，
故可設(shè)B（

a

2

，a），F(xiàn)（

a

10

，

6

5

a）代入y=-x²+c得：

- a2 4 +c=a - a2 100 +c= 6 5 a

，
即

a= 5 6 c= 145 144

．
拋物線(xiàn)解析式中常數(shù)c的值為

145

144

．

（2）∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)和正方形EFGH的邊長(zhǎng)之比為5：1，即FG=

1

5

BC=

a

5

，
∴F（

a

10

，

a

5

+a）．
設(shè)MN=NP=b，則N（

b

2

，b+

6

5

a），
∵a=

5

6

，代入y=-x²+

145

144

∴b+1=-

b2

4

+

145

144

∴正方形MNPQ的邊長(zhǎng)b=-2+

145

6

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查二次函數(shù)圖象上坐標(biāo)之間的關(guān)系，巧妙設(shè)點(diǎn)來(lái)減少未知量，最后待定系數(shù)求出方程的解．